Khi thi công tuyến cao tốc Nghi Sơn-Bãi Vọt, đơn vị thi công cần san một ngọn núi nhỏ. Biết đường viền chân núi là một elip có trục lớn \(AB = 400\,{\rm{m}}\) và trục bé \(CD = 200\,{\rm{m}}\); mặt cắt bởi mặt phẳng chứa \(AB\) và vuông góc với mặt đất là nửa hình tròn đường kính \(AB\); mặt cắt bởi các mặt phẳng vuông góc với với \(AB\) có dạng parabol với đỉnh thuộc nửa đường tròn đường kính \(AB\)(tham khảo hình vẽ). Tính thể tích ngọn núi đó theo đơn vị triệu \({m^3}\)( làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 5,25.

Gọi \(x\) là số lượng máy bán được trong một tháng và \(p\) là giá bán (triệu đồng/chiếc).

Vì hàm cầu là hàm bậc nhất, ta có dạng: \(p = ax + b\).

Theo bài ra:

Khi \(p = 5\) thì \(x = 100 \Rightarrow 100a + b = 5\) (1)

Khi \(p = 4,5\) thì \(x = 120 \Rightarrow 120a + b = 4,5\) (2)

Từ (1) và (2) ta được: \(a =  - 0,025\), \(b = 7,5\).

Vậy hàm cầu là: \(p =  - 0,025x + 7,5\).

Thiết lập hàm lợi nhuận \(L(x)\):

Doanh thu: \(R(x) = p \cdot x = ( - 0,025x + 7,5)x =  - 0,025{x^2} + 7,5x\).

Tổng chi phí: \(C(x) = \bar C(x) \cdot x = \frac{{3x + 50}}{x} \cdot x = 3x + 50\).

Lợi nhuận: \(L(x) = R(x) - C(x) = ( - 0,025{x^2} + 7,5x) - (3x + 50) =  - 0,025{x^2} + 4,5x - 50\).

Lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất khi \(x =  - \frac{{4,5}}{{2.\left( { - 0,025} \right)}} = 90\).

Khi đó giá bán tương ứng là \(p =  - 0,025.90 + 7,5 = 5,25\)(triệu đồng/chiếc).

a) Vận tốc của ô tô kể từ lúc đạp phanh đến khi giảm về tốc độ 30km/h là \(v(t) = 25 - 2t{\rm{ (m/s)}}\)\(v(t) = \int a (t)dt = \int  -  2dt =  - 2t + C\)

Thay \(t = 0\) và \(v(0) = 25\) vào phương trình, ta có:\( - 2(0) + C = 25 \Rightarrow C = 25\)

Phương trình vận tốc theo thời gian của ô tô là \(v(t) = 25 - 2t{\rm{ (m/s)}}\) ĐÚNG.

b) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi giảm về tốc độ 30km/h là 9 giây.

Ta có: \(25 - 2t = \frac{{25}}{3} \Rightarrow 2t = \frac{{50}}{3} \Rightarrow t = \frac{{25}}{3} \approx 8.33{\rm{ s}}\).

Vì \(8.33 \ne 9\) SAI.

c) Quãng đường xe đi được kể từ lúc đạp phanh đến khi giảm về tốc độ 30km/h là \(139{\rm{ m}}\) (làm tròn đến hàng đơn vị).

Quãng đường là tích phân của vận tốc trên đoạn \([0;\frac{{25}}{3}]\).

\(S = \int_0^{\frac{{25}}{3}} {(25 - 2t)} dt = 138.89{\rm{ m}}\)

ĐÚNG.

d) Khi giảm về tốc độ 30km/h, khoảng cách giữa xe và trạm thu phí là \(161{\rm{ m}}\) (làm tròn đến hàng đơn vị).

Giai đoạn đầu:  \({S_1} = \int_0^4 2 5dt = 100\)

Giai đoạn sau, xe bắt đầu hãm phanh:

\({S_2} = \int_0^{\frac{{25}}{3}} {(25 - 2t)} dt = \frac{{1250}}{9}\)

Tổng quãng đường xe thực tế đã di chuyển là \(S = {S_1} + {S_2} = 100 + 138,89 = 238,89\) m

Khoảng cách ban đầu từ xe đến trạm thu phí là 400 m, do đó khoảng cách còn lại sẽ là \(400 - 238,89 = 161,11\) m.

ĐÚNG.