Khi thi công tuyến cao tốc Nghi Sơn-Bãi Vọt, đơn vị thi công cần san một ngọn núi nhỏ. Biết đường viền chân núi là một elip có trục lớn \(AB = 400\,{\rm{m}}\) và trục bé \(CD = 200\,{\rm{m}}\); mặt cắt bởi mặt phẳng chứa \(AB\) và vuông góc với mặt đất là nửa hình tròn đường kính \(AB\); mặt cắt bởi các mặt phẳng vuông góc với với \(AB\) có dạng parabol với đỉnh thuộc nửa đường tròn đường kính \(AB\)(tham khảo hình vẽ). Tính thể tích ngọn núi đó theo đơn vị triệu \({m^3}\)( làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 5,25.

Gọi \(x\) là số lượng máy bán được trong một tháng và \(p\) là giá bán (triệu đồng/chiếc).

Vì hàm cầu là hàm bậc nhất, ta có dạng: \(p = ax + b\).

Theo bài ra:

Khi \(p = 5\) thì \(x = 100 \Rightarrow 100a + b = 5\) (1)

Khi \(p = 4,5\) thì \(x = 120 \Rightarrow 120a + b = 4,5\) (2)

Từ (1) và (2) ta được: \(a =  - 0,025\), \(b = 7,5\).

Vậy hàm cầu là: \(p =  - 0,025x + 7,5\).

Thiết lập hàm lợi nhuận \(L(x)\):

Doanh thu: \(R(x) = p \cdot x = ( - 0,025x + 7,5)x =  - 0,025{x^2} + 7,5x\).

Tổng chi phí: \(C(x) = \bar C(x) \cdot x = \frac{{3x + 50}}{x} \cdot x = 3x + 50\).

Lợi nhuận: \(L(x) = R(x) - C(x) = ( - 0,025{x^2} + 7,5x) - (3x + 50) =  - 0,025{x^2} + 4,5x - 50\).

Lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất khi \(x =  - \frac{{4,5}}{{2.\left( { - 0,025} \right)}} = 90\).

Khi đó giá bán tương ứng là \(p =  - 0,025.90 + 7,5 = 5,25\)(triệu đồng/chiếc).

Đáp số: 15

Để tìm đường ngắn nhất giữa hai điểm trên bề mặt khối hộp, ta "trải" các mặt liên quan lên cùng một mặt phẳng sao cho đường nối hai điểm là một đường thẳng.

Trường hợp 1: Bò qua trần nhà (Lộ trình phổ biến nhất)

Khoảng cách theo phương ngang (tổng độ cao từ A lên trần + chiều rộng trần + từ trần xuống B):\({d_1} = 3{\rm{m}} + 8{\rm{m}} + 4{\rm{m}} = 15{\rm{m}}\).

Khoảng cách theo phương dọc (chênh lệch vị trí so với tường trước):\({d_2} = |9{\rm{m}} - 7{\rm{m}}| = 2{\rm{m}}\).

Độ dài quãng đường \({L_1}\):\({L_1} = \sqrt {{{15}^2} + {2^2}}  = \sqrt {225 + 4}  = \sqrt {229}  \approx 15,13{\rm{m}}\).

Trường hợp 2: Bò vòng qua bức tường phía sau

Khoảng cách từ A đến tường sau là \(12 - 7 = 5{\rm{m}}\).

Khoảng cách từ B đến tường sau là \(12 - 9 = 3{\rm{m}}\).

Khoảng cách theo phương ngang (vòng qua tường sau):\({d_1} = 5{\rm{m}} + 8{\rm{m}} + 3{\rm{m}} = 16{\rm{m}}\).

Khoảng cách theo phương đứng (chênh lệch độ cao so với trần):\({d_2} = |4{\rm{m}} - 3{\rm{m}}| = 1{\rm{m}}\).

Độ dài quãng đường \({L_2}\):\({L_2} = \sqrt {{{16}^2} + {1^2}}  = \sqrt {256 + 1}  = \sqrt {257}  \approx 16,03{\rm{m}}\).

Trường hợp 3: Bò vòng qua bức tường phía trước

Khoảng cách theo phương ngang: \({d_1} = 7{\rm{m}} + 8{\rm{m}} + 9{\rm{m}} = 24{\rm{m}}\).

Khoảng cách theo phương đứng: \({d_2} = |4{\rm{m}} - 3{\rm{m}}| = 1{\rm{m}}\).

Độ dài quãng đường \({L_3}\):\({L_3} = \sqrt {{{24}^2} + {1^2}}  = \sqrt {577}  \approx 24,02{\rm{m}}\).

Kết luận: So sánh các kết quả: \(15,13 < 16,03 < 24,02\).Vậy quãng đường ngắn nhất là \(\sqrt {229}  \approx 15,13{\rm{m}}\).