Hai con thằn lằn A và B đang bám ở hai bức tường đối diện của một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều rộng, chiều dài, chiều cao lần lượt là 8m, 12m, 5m. Ban đầu thằn lằn A ở vị trí cách bức tường phía trước và trần nhà lần lượt là 7m và 3m, còn thằn lằn B ở vị trí cách bức tường phía trước và trần nhà lần lượt là 9m và 4m (tham khảo hình vẽ bên dưới). Sau đó chúng nhìn thấy nhau và chạy lại gặp nhau. Biết rằng hai con thằn lằn chỉ chạy trên các bức tường và trần nhà, hỏi tổng quãng đường ngắn nhất hai con thằn lằn di chuyển là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 5,25.

Gọi \(x\) là số lượng máy bán được trong một tháng và \(p\) là giá bán (triệu đồng/chiếc).

Vì hàm cầu là hàm bậc nhất, ta có dạng: \(p = ax + b\).

Theo bài ra:

Khi \(p = 5\) thì \(x = 100 \Rightarrow 100a + b = 5\) (1)

Khi \(p = 4,5\) thì \(x = 120 \Rightarrow 120a + b = 4,5\) (2)

Từ (1) và (2) ta được: \(a =  - 0,025\), \(b = 7,5\).

Vậy hàm cầu là: \(p =  - 0,025x + 7,5\).

Thiết lập hàm lợi nhuận \(L(x)\):

Doanh thu: \(R(x) = p \cdot x = ( - 0,025x + 7,5)x =  - 0,025{x^2} + 7,5x\).

Tổng chi phí: \(C(x) = \bar C(x) \cdot x = \frac{{3x + 50}}{x} \cdot x = 3x + 50\).

Lợi nhuận: \(L(x) = R(x) - C(x) = ( - 0,025{x^2} + 7,5x) - (3x + 50) =  - 0,025{x^2} + 4,5x - 50\).

Lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất khi \(x =  - \frac{{4,5}}{{2.\left( { - 0,025} \right)}} = 90\).

Khi đó giá bán tương ứng là \(p =  - 0,025.90 + 7,5 = 5,25\)(triệu đồng/chiếc).

Đáp án: 7,11.

Trong hệ tọa độ \(Oxy\) chứa đường elip có hai trục \(AB,CD\) ta có phương trình đường elip là đường viền chân núi là \(\frac{{{x^2}}}{{{{200}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{100}^2}}} = 1\)

Trong mặt phẳng chứa đường tròn đường kính \(AB\) vuông góc với mặt đất thì phương trình đường tròn là \({x^2} + {y^2} = {200^2}\).

Trong mặt phẳng vuông góc với \(AB\) cắt ngọn núi theo mặt cắt có dạng parabol thì diện tích mặt cắt được tính theo công thức \(S = \frac{2}{3}h.D\).

Trong đó \(h\left( x \right) = \sqrt {{{200}^2} - {x^2}} \), \(D = 2.100\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{200}^2}}}}  = 200\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{200}^2}}}} \)

Vậy diện tích mặt cắt là \(S\left( x \right) = \frac{2}{3}.\sqrt {{{200}^2} - {x^2}} .200.\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{200}^2}}}} \)\( = \frac{{2\left( {{{200}^2} - {x^2}} \right)}}{3}\)

Khi đó thể tích ngọn núi bằng \(V = \int\limits_{ - 200}^{200} {S\left( x \right)dx = \int\limits_{ - 200}^{200} {\frac{{2\left( {{{200}^2} - {x^2}} \right)}}{3}dx} } \)\( \approx 7,11\)(triệu \({m^3}\))