Cho \(\Delta ABC\) nhọn có \(AB < AC\,.\) Các đường cao \(BE,\,\,CF\) cắt nhau tại \(H\,.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\,.\) Từ \(B\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AB\) và từ \(C\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AC\) hai đường thẳng này cắt nhau tại \(K\,.\)

a) Chứng minh \(BHCK\) là hình bình hành

b) Chứng minh \(H,\,\,M,\,\,K\) thẳng hàng.

c) Từ \(H\) vẽ \(HG \bot BC.\) Trên tia \(HG\) lấy \(I\) sao cho \(HG = GI\,.\) Chứng minh \[HM \cdot HI = HG \cdot HK.\]

 a) Ta có \(BH \bot AC,\,\,\,KC \bot AC\) nên \(BH\,{\rm{//}}\,KC.\)          \(\left( 1 \right)\)

       Và \(CH \bot AB,\,\,\,KB \bot AB\) nên \(CH\,{\rm{//}}\,KB.\)           \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\) suy ra \(BHCK\) là hình bình hành.

 b) Vì \(BHCK\) là hình bình hành nên \(BC\) cắt \(HK\) tại trung điểm của mỗi đường.

 Mà \(M\) là trung điểm của \(BC\) (gt)

 Suy ra \[M\] là trung điểm của \(HK\)  

 Vậy \[M,{\rm{ }}H,{\rm{ }}K\] thẳng hàng.

 c) Xét \(\Delta HIK\) có \[G\] là trung điểm của \[HI\] (vì \[HG = GI)\] và \[M\] là trung điểm \[HK\]

Suy ra \[MG\] là đường trung bình của tam giác \[IHK\]

Do đó \[GM\,{\rm{//}}\,IK\] nên \(\frac{{HM}}{{HK}} = \frac{{HG}}{{HI}}\) (Theo định lí Thales)

Suy ra \(HM.HI = HG.HK\).