Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( { - 1;\,0;\,2} \right)\), \(B\left( {2;\,2;\,1} \right)\), \(C\left( {0;\, - 1;\,4} \right)\).

Đáp án: 15.

+ Gọi \(x,\,y\,\left( {x,\,y > 0} \right)\) lần lượt là số tấn gỗ keo và gỗ bạch đàn công ty A cần mua mỗi tháng

Theo đề bài ta có hệ bất phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}200x + \,300y\, \ge 2800\\300x + 150y \ge 2400\\0 \le x \le 9\\0 \le y \le 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + \,3y\, \ge 28\\3x + 1,5y \ge 24\\0 \le x \le 9\\0 \le y \le 10\end{array} \right.\)

+ Đỉnh của miền nghiệm \(A\left( {3;\,10} \right),\,B\left( {5;\,6} \right),\,C\left( {9;\,10} \right),\,D\left( {9;\,\frac{{10}}{3}} \right)\)

+ Chi phí bỏ ra mua nguyên liệu \(C\left( {x,\,y} \right) = 1,2x + 1,5y\).

Ta có \(C\left( {3,\,10} \right) = 18,6;\,C\left( {5,\,6} \right) = 15;\,C\left( {9,\,\frac{{10}}{3}} \right) = 15,8;\,C\left( {9,\,10} \right) = 25,8\).

Vậy số tiền bỏ ra ít nhất là \(15\) triệu đồng để mua \(5\) tấn keo và \(6\) tấn bạch đàn.

Đáp án: 13,9.

Chọn hệ trục như hình vẽ. Ta có \(\tan \widehat {FOA} = \tan 60^\circ  = \sqrt 3  \Rightarrow OA:y = x\sqrt 3  \Rightarrow y(2) = 2\sqrt 3 .\)

Giả sử \(({C_1}):y = a{x^2} + b \Rightarrow y' = 2ax.\)

Vì \(({C_1})\) tiếp xúc với \(OA\) tại \(A\) nên \(y'(2) = \sqrt 3  \Leftrightarrow 2a.2 = \sqrt 3  \Rightarrow a = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow ({C_1}):y = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + b\)

Mặt khác \(A(2;2\sqrt 3 ) \in ({C_1}) \Rightarrow 2\sqrt 3  = \sqrt 3  + b \Rightarrow b = \sqrt 3  \Rightarrow ({C_1}):y = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + \sqrt 3 .\)

Diện tích phần giới hạn bởi \(({C_1})\) với hai đường thẳng \(OA,OB\) bằng

\({S_1} = 2\int\limits_0^2 {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + \sqrt 3  - x\sqrt 3 } \right){\rm{d}}x}  = 2\left[ {\frac{{\sqrt 3 }}{{12}}{x^3} + x\sqrt 3  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}{x^2}} \right]_0^2 = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

Cách khác, áp dụng công thức tính diện tích cửa parabol có đáy \(a\) và chiều cao \(b\) là \(S = \frac{2}{3}ab.\)

\({S_1} = {S_{\Delta OAB}} - {S_{({C_1})}} = 4\sqrt 3  - \frac{2}{3}.4.\sqrt 3  = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

Vậy diện tích cần tìm là \(S = 6{S_1} = 6.\frac{{4\sqrt 3 }}{3} = 8\sqrt 3  = \)13,9 (cm²).