Trong hình bên dưới là một chiếc đồng hồ treo tường cao cấp được thiết kế có phần ở giữa (phần tô đậm) dát vàng. Phần này được thiết kế như sau:

Ÿ Vẽ hình lục giác đều \[ABCDEF\] tâm \[O\] và có cạnh bằng\[4{\rm{ cm;}}\]

Ÿ Vẽ parabol \(({C_1})\) tiếp xúc với các đường thẳng \[OA,OB\] lần lượt tại \[A\] và \[B;\]

Ÿ Tương tự vẽ parabol \(({C_2})\) tiếp xúc với các đường thẳng \[OB,OC\] lần lượt tại \[B\] và \[C;\] parabol \(({C_3})\) tiếp xúc với các đường thẳng \[OC,OD\] lần lượt tại \[C\] và \[D;...;\] parabol \(({C_6})\) tiếp xúc với các đường thẳng \[OF,OA\] lần lượt tại \[F\] và \[A.\]

Hình phẳng \((H)\) được giới hạn bởi sáu parabol \(({C_1}),({C_2}),({C_3}),({C_4}),({C_5}),({C_6})\) (phần tô đậm) là phần sẽ được dát vàng. Hỏi phần dát vàng này có diện tích bằng bao nhiêu centimet vuông (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục)?

Đáp án: 6,56

1. Đặt ẩn và lập hàm số

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi chiếc thang và mặt đất \(\left( {0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)\).

Gọi \(L\) là tổng chiều dài của chiếc thang. Chiếc thang bị chia làm hai đoạn bởi điểm tựa trên đỉnh hàng rào:

Đoạn từ mặt đất đến đỉnh hàng rào (xét tam giác vuông tạo bởi đoạn thang này, mặt đất và hàng rào): \({L_1} = \frac{{2,88}}{{\sin \alpha }}\)

Đoạn từ đỉnh hàng rào đến bức tường (xét tam giác vuông phía trên, với cạnh kề là khoảng cách từ hàng rào đến tường): \({L_2} = \frac{{1,8}}{{\cos \alpha }}\)

Tổng chiều dài của thang sẽ là hàm số theo góc \(\alpha \): \(L(\alpha ) = {L_1} + {L_2} = \frac{{2,88}}{{\sin \alpha }} + \frac{{1,8}}{{\cos \alpha }}\).

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Để tìm chiều dài ngắn nhất, ta tính đạo hàm của \(L(\alpha )\) và cho bằng \(0\):

\(L'(\alpha ) =  - \frac{{2,88 \cdot \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{1,8 \cdot \sin \alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)

Cho \(L'(\alpha ) = 0\)\( \Leftrightarrow \) \(\frac{{1,8 \cdot \sin \alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{2,88 \cdot \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow \)\(1,8 \cdot {\sin ^3}\alpha  = 2,88 \cdot {\cos ^3}\alpha \)\( \Leftrightarrow \)\(\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} = \frac{{2,88}}{{1,8}}\)

\( \Leftrightarrow \)\({\tan ^3}\alpha  = 1,6 \Rightarrow \tan \alpha  = \sqrt[3]{{1,6}} \Rightarrow \alpha  = \arctan (\sqrt[3]{{1,6}}) \approx 49,47\)

\(\min L \approx 6,55936...\) (mét)

Theo yêu cầu đề bài, làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm:

Chiều dài ngắn nhất của chiếc thang là 6,56 mét.

Đáp án: \(37,7\).

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ.

Gọi điểm \(M\left( {x;y} \right)\)\(\left( {x,y > 0} \right)\). Vì tích khoảng cách từ điểm \(M\) đến các trục hoành, trục tung bằng 2 nên \(x.y = 2 \Leftrightarrow y = \frac{2}{x}\).

Vì phần hình phẳng \(\left( H \right)\) đối xứng nhau qua trục tung nên ta cần tính thể tích phần hình phẳng giới hạn bởi phần tô đậm \((0 \le x \le 2)\).

Phần hình phẳng bên phải trục tung chia thành 2 phần:

\[\left( {{H_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 0;x = 1\end{array} \right.\] và \(\left( {{H_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{2}{x}\\x = 1;\,x = 2\end{array} \right.\)

Khi đó: \({V_1} = \pi \int\limits_0^1 {4dx}  = 4\pi \)

\({V_2} = \pi \int\limits_1^2 {\frac{4}{{{x^2}}}dx = \left. {\pi \left( { - \frac{4}{x}} \right)} \right|} _1^2 = 2\pi \)

Vậy \(V = 2\left( {{V_1} + {V_2}} \right) = 2.6\pi  \approx 37,7\).