PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục là km), một Radar phát hiện một chiếc máy bay di chuyển trên một đường thẳng với tốc độ và hướng bay không đổi. Máy bay bay từ điểm \(A\left( {712;200;6} \right)\) đến điểm \(B\left( {802;220;8} \right)\) trong 8 phút và trong 4 phút tiếp theo máy bay có vị trí là điểm \(C\left( {x;y;z} \right)\). Giá trị \(x + y + z\) bằng bao nhiêu?

Đáp án: 13,9.

Chọn hệ trục như hình vẽ. Ta có \(\tan \widehat {FOA} = \tan 60^\circ  = \sqrt 3  \Rightarrow OA:y = x\sqrt 3  \Rightarrow y(2) = 2\sqrt 3 .\)

Giả sử \(({C_1}):y = a{x^2} + b \Rightarrow y' = 2ax.\)

Vì \(({C_1})\) tiếp xúc với \(OA\) tại \(A\) nên \(y'(2) = \sqrt 3  \Leftrightarrow 2a.2 = \sqrt 3  \Rightarrow a = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow ({C_1}):y = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + b\)

Mặt khác \(A(2;2\sqrt 3 ) \in ({C_1}) \Rightarrow 2\sqrt 3  = \sqrt 3  + b \Rightarrow b = \sqrt 3  \Rightarrow ({C_1}):y = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + \sqrt 3 .\)

Diện tích phần giới hạn bởi \(({C_1})\) với hai đường thẳng \(OA,OB\) bằng

\({S_1} = 2\int\limits_0^2 {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + \sqrt 3  - x\sqrt 3 } \right){\rm{d}}x}  = 2\left[ {\frac{{\sqrt 3 }}{{12}}{x^3} + x\sqrt 3  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}{x^2}} \right]_0^2 = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

Cách khác, áp dụng công thức tính diện tích cửa parabol có đáy \(a\) và chiều cao \(b\) là \(S = \frac{2}{3}ab.\)

\({S_1} = {S_{\Delta OAB}} - {S_{({C_1})}} = 4\sqrt 3  - \frac{2}{3}.4.\sqrt 3  = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

Vậy diện tích cần tìm là \(S = 6{S_1} = 6.\frac{{4\sqrt 3 }}{3} = 8\sqrt 3  = \)13,9 (cm²).

Đáp án: 6,56

1. Đặt ẩn và lập hàm số

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi chiếc thang và mặt đất \(\left( {0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)\).

Gọi \(L\) là tổng chiều dài của chiếc thang. Chiếc thang bị chia làm hai đoạn bởi điểm tựa trên đỉnh hàng rào:

Đoạn từ mặt đất đến đỉnh hàng rào (xét tam giác vuông tạo bởi đoạn thang này, mặt đất và hàng rào): \({L_1} = \frac{{2,88}}{{\sin \alpha }}\)

Đoạn từ đỉnh hàng rào đến bức tường (xét tam giác vuông phía trên, với cạnh kề là khoảng cách từ hàng rào đến tường): \({L_2} = \frac{{1,8}}{{\cos \alpha }}\)

Tổng chiều dài của thang sẽ là hàm số theo góc \(\alpha \): \(L(\alpha ) = {L_1} + {L_2} = \frac{{2,88}}{{\sin \alpha }} + \frac{{1,8}}{{\cos \alpha }}\).

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Để tìm chiều dài ngắn nhất, ta tính đạo hàm của \(L(\alpha )\) và cho bằng \(0\):

\(L'(\alpha ) =  - \frac{{2,88 \cdot \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{1,8 \cdot \sin \alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)

Cho \(L'(\alpha ) = 0\)\( \Leftrightarrow \) \(\frac{{1,8 \cdot \sin \alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{2,88 \cdot \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow \)\(1,8 \cdot {\sin ^3}\alpha  = 2,88 \cdot {\cos ^3}\alpha \)\( \Leftrightarrow \)\(\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} = \frac{{2,88}}{{1,8}}\)

\( \Leftrightarrow \)\({\tan ^3}\alpha  = 1,6 \Rightarrow \tan \alpha  = \sqrt[3]{{1,6}} \Rightarrow \alpha  = \arctan (\sqrt[3]{{1,6}}) \approx 49,47\)

\(\min L \approx 6,55936...\) (mét)

Theo yêu cầu đề bài, làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm:

Chiều dài ngắn nhất của chiếc thang là 6,56 mét.