Ông chủ của một ngôi nhà muốn làm một chiếc thang cứu hộ (coi như một đoạn thẳng) để sử dụng khi có nguy hiểm xảy ra. Khi chiếc thang được sử dụng thì một đầu của nó sẽ tiếp đất và một đầu còn lại sẽ đặt vào bức tường của ngôi nhà. Chiếc thang này được thiết kế để nó đứng dưới đất vươn qua hàng rào tựa vào ngôi nhà (tham khảo hình vẽ bên). Hàng rào cao 2,88 mét được đặt song song và cách bức tường của ngôi nhà một khoảng bằng 1,8 mét. Hỏi chiều dài ngắn nhất của chiếc thang bằng bao nhiêu mét (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Đáp án: 13,9.

Chọn hệ trục như hình vẽ. Ta có \(\tan \widehat {FOA} = \tan 60^\circ  = \sqrt 3  \Rightarrow OA:y = x\sqrt 3  \Rightarrow y(2) = 2\sqrt 3 .\)

Giả sử \(({C_1}):y = a{x^2} + b \Rightarrow y' = 2ax.\)

Vì \(({C_1})\) tiếp xúc với \(OA\) tại \(A\) nên \(y'(2) = \sqrt 3  \Leftrightarrow 2a.2 = \sqrt 3  \Rightarrow a = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow ({C_1}):y = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + b\)

Mặt khác \(A(2;2\sqrt 3 ) \in ({C_1}) \Rightarrow 2\sqrt 3  = \sqrt 3  + b \Rightarrow b = \sqrt 3  \Rightarrow ({C_1}):y = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + \sqrt 3 .\)

Diện tích phần giới hạn bởi \(({C_1})\) với hai đường thẳng \(OA,OB\) bằng

\({S_1} = 2\int\limits_0^2 {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + \sqrt 3  - x\sqrt 3 } \right){\rm{d}}x}  = 2\left[ {\frac{{\sqrt 3 }}{{12}}{x^3} + x\sqrt 3  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}{x^2}} \right]_0^2 = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

Cách khác, áp dụng công thức tính diện tích cửa parabol có đáy \(a\) và chiều cao \(b\) là \(S = \frac{2}{3}ab.\)

\({S_1} = {S_{\Delta OAB}} - {S_{({C_1})}} = 4\sqrt 3  - \frac{2}{3}.4.\sqrt 3  = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

Vậy diện tích cần tìm là \(S = 6{S_1} = 6.\frac{{4\sqrt 3 }}{3} = 8\sqrt 3  = \)13,9 (cm²).

Đáp án: \(37,7\).

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ.

Gọi điểm \(M\left( {x;y} \right)\)\(\left( {x,y > 0} \right)\). Vì tích khoảng cách từ điểm \(M\) đến các trục hoành, trục tung bằng 2 nên \(x.y = 2 \Leftrightarrow y = \frac{2}{x}\).

Vì phần hình phẳng \(\left( H \right)\) đối xứng nhau qua trục tung nên ta cần tính thể tích phần hình phẳng giới hạn bởi phần tô đậm \((0 \le x \le 2)\).

Phần hình phẳng bên phải trục tung chia thành 2 phần:

\[\left( {{H_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 0;x = 1\end{array} \right.\] và \(\left( {{H_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{2}{x}\\x = 1;\,x = 2\end{array} \right.\)

Khi đó: \({V_1} = \pi \int\limits_0^1 {4dx}  = 4\pi \)

\({V_2} = \pi \int\limits_1^2 {\frac{4}{{{x^2}}}dx = \left. {\pi \left( { - \frac{4}{x}} \right)} \right|} _1^2 = 2\pi \)

Vậy \(V = 2\left( {{V_1} + {V_2}} \right) = 2.6\pi  \approx 37,7\).