Có một hình phẳng \(\left( H \right)\)(phần tô đậm trong hình vẽ bên) đươc tạo ra bằng cách vẽ một hình vuông có cạnh bằng 4. Sau đó, ở bốn góc hình vuông đó vẽ bốn đường cong đều có tính chất là: tích khoảng cách từ một điểm bất ì thuộc mỗi đường cong đó đến hai trục đối xứng \({d_1},\,{d_2}\) của hình vuông bằng 2. Khi cho hình phẳng \[\left( H \right)\] quay quanh trục \({d_1}\) ta sẽ thu được một vật thể tròn xoay, thể tích vật thể tròn xoay đó bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục)?

Đáp án: 13,9.

Chọn hệ trục như hình vẽ. Ta có \(\tan \widehat {FOA} = \tan 60^\circ  = \sqrt 3  \Rightarrow OA:y = x\sqrt 3  \Rightarrow y(2) = 2\sqrt 3 .\)

Giả sử \(({C_1}):y = a{x^2} + b \Rightarrow y' = 2ax.\)

Vì \(({C_1})\) tiếp xúc với \(OA\) tại \(A\) nên \(y'(2) = \sqrt 3  \Leftrightarrow 2a.2 = \sqrt 3  \Rightarrow a = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow ({C_1}):y = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + b\)

Mặt khác \(A(2;2\sqrt 3 ) \in ({C_1}) \Rightarrow 2\sqrt 3  = \sqrt 3  + b \Rightarrow b = \sqrt 3  \Rightarrow ({C_1}):y = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + \sqrt 3 .\)

Diện tích phần giới hạn bởi \(({C_1})\) với hai đường thẳng \(OA,OB\) bằng

\({S_1} = 2\int\limits_0^2 {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + \sqrt 3  - x\sqrt 3 } \right){\rm{d}}x}  = 2\left[ {\frac{{\sqrt 3 }}{{12}}{x^3} + x\sqrt 3  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}{x^2}} \right]_0^2 = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

Cách khác, áp dụng công thức tính diện tích cửa parabol có đáy \(a\) và chiều cao \(b\) là \(S = \frac{2}{3}ab.\)

\({S_1} = {S_{\Delta OAB}} - {S_{({C_1})}} = 4\sqrt 3  - \frac{2}{3}.4.\sqrt 3  = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

Vậy diện tích cần tìm là \(S = 6{S_1} = 6.\frac{{4\sqrt 3 }}{3} = 8\sqrt 3  = \)13,9 (cm²).

Đáp án: 6,56

1. Đặt ẩn và lập hàm số

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi chiếc thang và mặt đất \(\left( {0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)\).

Gọi \(L\) là tổng chiều dài của chiếc thang. Chiếc thang bị chia làm hai đoạn bởi điểm tựa trên đỉnh hàng rào:

Đoạn từ mặt đất đến đỉnh hàng rào (xét tam giác vuông tạo bởi đoạn thang này, mặt đất và hàng rào): \({L_1} = \frac{{2,88}}{{\sin \alpha }}\)

Đoạn từ đỉnh hàng rào đến bức tường (xét tam giác vuông phía trên, với cạnh kề là khoảng cách từ hàng rào đến tường): \({L_2} = \frac{{1,8}}{{\cos \alpha }}\)

Tổng chiều dài của thang sẽ là hàm số theo góc \(\alpha \): \(L(\alpha ) = {L_1} + {L_2} = \frac{{2,88}}{{\sin \alpha }} + \frac{{1,8}}{{\cos \alpha }}\).

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Để tìm chiều dài ngắn nhất, ta tính đạo hàm của \(L(\alpha )\) và cho bằng \(0\):

\(L'(\alpha ) =  - \frac{{2,88 \cdot \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{1,8 \cdot \sin \alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)

Cho \(L'(\alpha ) = 0\)\( \Leftrightarrow \) \(\frac{{1,8 \cdot \sin \alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{2,88 \cdot \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow \)\(1,8 \cdot {\sin ^3}\alpha  = 2,88 \cdot {\cos ^3}\alpha \)\( \Leftrightarrow \)\(\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} = \frac{{2,88}}{{1,8}}\)

\( \Leftrightarrow \)\({\tan ^3}\alpha  = 1,6 \Rightarrow \tan \alpha  = \sqrt[3]{{1,6}} \Rightarrow \alpha  = \arctan (\sqrt[3]{{1,6}}) \approx 49,47\)

\(\min L \approx 6,55936...\) (mét)

Theo yêu cầu đề bài, làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm:

Chiều dài ngắn nhất của chiếc thang là 6,56 mét.