Một chiếc khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài \(24{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\), chiều rộng \(12{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\), chiều cao \(10{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\) (hình a). Để san bớt nước cho đỡ đầy, người ta đổ nước từ chiếc khay thứ nhất đó sang chiếc khay thứ hai có dạng hình chóp cụt tứ giác đều với đáy khay là hình vuông nhỏ có đường chéo dài \(n{\mkern 1mu} ({\rm{cm}})\), miệng khay là hình vuông lớn có đường chéo dài \(3n{\mkern 1mu} ({\rm{cm}})\)(hình b). Sau khi đổ, mực nước ở khay thứ hai cao bằng \(\frac{3}{5}\) chiều cao của khay đó và lượng nước trong khay thứ nhất giảm đi \(\frac{1}{5}\)so với lượng nước ban đầu. Thể tích của chiếc khay thứ hai theo đơn vị centimét khối có kết quả chính xác đến hàng đơn vị là \(a{\mkern 1mu} ({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\). Tổng các chữ số của \(a\) bằng bao nhiêu?

    

Đáp án: \[{\bf{13}}\].

Thể tích nước ban đầu trong khay thứ nhất là:

\({V_1} = 24 \cdot 12 \cdot 10 = 2880{\mkern 1mu} {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).

Lượng nước đã đổ sang khay thứ hai (ký hiệu là \({V_n}\)) bằng \(\frac{1}{5}\) lượng nước ban đầu:

\({V_n} = \frac{1}{5} \cdot 2880 = 576{\mkern 1mu} {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).

Gọi \(h\) là chiều cao của chiếc khay thứ hai (hình chóp cụt).

 Đáy nhỏ có đường chéo \(n\)\( \Rightarrow \) Cạnh đáy nhỏ \[{s_1} = \frac{n}{{\sqrt 2 }}\] \[ \Rightarrow \] Diện tích đáy nhỏ \({B_1} = \frac{{{n^2}}}{2}\).

 Đáy lớn có đường chéo \(3n\)\( \Rightarrow \) Cạnh đáy lớn \({s_2} = \frac{{3n}}{{\sqrt 2 }}\)\( \Rightarrow \) Diện tích đáy lớn \({B_2} = \frac{{9{n^2}}}{2}\).

Thể tích của khay thứ hai là:

\({V_{khay}} = \frac{1}{3}h\left( {{B_1} + {B_2} + \sqrt {{B_1} \cdot {B_2}} } \right) = \frac{1}{3}h\left( {\frac{{{n^2}}}{2} + \frac{{9{n^2}}}{2} + \sqrt {\frac{{9{n^4}}}{4}} } \right)\).

\({V_{khay}} = \frac{1}{3}h\left( {5{n^2} + 1,5{n^2}} \right) = \frac{{6,5}}{3}h \cdot {n^2} = \frac{{13}}{6}h \cdot {n^2}\left( 1 \right)\).

Diện tích mặt nước trong khay thứ hai:

Mực nước cao bằng \(\frac{3}{5}h\). Khi đó, phần nước cũng có dạng một hình chóp cụt.

 Đáy dưới của khối nước là đáy nhỏ của khay: \({B_1} = \frac{{{n^2}}}{2}\).

 Đáy trên của khối nước (mặt nước) có cạnh tỉ lệ thuận với chiều cao. Cạnh đáy mặt nước \(s'\)được tính theo công thức:

\(s' = {s_1} + \frac{3}{5}({s_2} - {s_1}) = \frac{n}{{\sqrt 2 }} + \frac{3}{5}\left( {\frac{{3n}}{{\sqrt 2 }} - \frac{n}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{n}{{\sqrt 2 }} + \frac{3}{5} \cdot \frac{{2n}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{11n}}{{5\sqrt 2 }}\)

Suy ra diện tích mặt nước \(B' = {(s')^2} = \frac{{121{n^2}}}{{50}} = 2,42{n^2}\)

Thể tích nước trong khay thứ hai là:

\(\begin{array}{l}{V_n} = \frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{3}{5}h} \right) \cdot \left( {{B_1} + B' + \sqrt {{B_1} \cdot B'} } \right) = \frac{h}{5}\left( {0,5{n^2} + 2,42{n^2} + \sqrt {0,5 \cdot 2,42}  \cdot {n^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 576 = \frac{h}{5} \cdot {n^2}\left( {2,92 + 1,1} \right) \Leftrightarrow 576 = \frac{{4,02}}{5}h \cdot {n^2} \Rightarrow h \cdot {n^2} = \frac{{576 \cdot 5}}{{4,02}} \approx 716,418.\end{array}\)

Thay \(h \cdot {n^2}\)vào công thức thể tích khay đã lập ở \(\left( 1 \right)\):

\(a = {V_{khay}} = \frac{{13}}{6} \cdot (h \cdot {n^2}) = \frac{{13}}{6} \cdot \left( {\frac{{576 \cdot 5}}{{4,02}}} \right) \approx 1552,238\).

Làm tròn đến hàng đơn vị: \(a = 1552\).

Tổng các chữ số của \(a\) là: \(1 + 5 + 5 + 2 = 13\).