Một chiếc khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài \(24{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\), chiều rộng \(12{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\), chiều cao \(10{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\) (hình a). Để san bớt nước cho đỡ đầy, người ta đổ nước từ chiếc khay thứ nhất đó sang chiếc khay thứ hai có dạng hình chóp cụt tứ giác đều với đáy khay là hình vuông nhỏ có đường chéo dài \(n{\mkern 1mu} ({\rm{cm}})\), miệng khay là hình vuông lớn có đường chéo dài \(3n{\mkern 1mu} ({\rm{cm}})\)(hình b). Sau khi đổ, mực nước ở khay thứ hai cao bằng \(\frac{3}{5}\) chiều cao của khay đó và lượng nước trong khay thứ nhất giảm đi \(\frac{1}{5}\)so với lượng nước ban đầu. Thể tích của chiếc khay thứ hai theo đơn vị centimét khối có kết quả chính xác đến hàng đơn vị là \(a{\mkern 1mu} ({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\). Tổng các chữ số của \(a\) bằng bao nhiêu?

    

Đáp số: 1105

Tọa độ \(A\left( {30;0} \right)\) và phương trình \({\rm{\Delta }}:x - y = 0\).

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là tập hợp các điểm thuộc đường cong \(\left( {{L_1}} \right)\).

Ta có: \(MA = \sqrt 2 d\left( {M,{\rm{\Delta }}} \right) \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 30)}^2} + {y^2}}  = \sqrt 2  \cdot \frac{{\left| {x - y} \right|}}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 60x + 900 = {x^2} + {y^2} - 2xy\)

\( \Leftrightarrow xy = 30x - 450 \Leftrightarrow y = \frac{{30x - 450}}{x}\).

Giao điểm giữa \(\left( {{L_1}} \right)\) với \(Ox\) thỏa hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{30x - 450}}{x}\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = 15\).

Ta có: $S_1+S_2+S_3+S_4=4S_1=4\cdot 2\underset{15}{\overset{30}{\int }}\frac{30x-450}{x}\text{ d}x\approx 1105\left({\text{cm}}^2\right)$.

Đáp án: \[1,68\].

Ta gắn hệ trục toạ độ \(Oxy\) như hình vẽ với điểm A trùng với gốc O, đơn vị trên mỗi trục là km.

Khi đó ta có: \[A\left( {0;0} \right)\], \[B\left( {\sqrt 2 ;0} \right)\], \[D\left( {0;4} \right)\], \[C\left( {\sqrt 2 ;4} \right)\].

Parabol có đỉnh \[A\left( {0;0} \right)\] và trục đối xứng Oy nên có phương trình \[y = a{x^2}\]

Vì parabol đi qua điểm \[C\left( {\sqrt 2 ;4} \right)\] nên \[4 = a \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} \Rightarrow a = 2\].

Do đó đường cong AC có phương trình là \[y = 2{x^2},\,\,\left( {0 \le x \le \sqrt 2 } \right)\].

Với điểm \[P\left( {a;b} \right)\,\,\left( {0 < a < \sqrt 2 } \right)\] thuộc đường cong AC thì \[b = 2{a^2}\].

Vì MN đi qua P và không đi qua hồ nên MN là một phần của đường thẳng d là tiếp tuyến của đường cong AC tại điểm P, có phương trình là:

\[y = y'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + b = 4a\left( {x - a} \right) + 2{a^2} \Leftrightarrow y = 4ax - 2{a^2}\].

Vì \[M = d \cap AB \Rightarrow {y_M} = 0 \Leftrightarrow 4a{x_M} - 2{a^2} = 0 \Rightarrow {x_M} = \frac{a}{2}\] nên \[M\left( {\frac{a}{2};0} \right)\].

Vì \[N = d \cap BC \Rightarrow {x_N} = \sqrt 2  \Rightarrow {y_N} = 4\sqrt 2 a - 2{a^2}\] nên \[N\left( {\sqrt 2 ;4\sqrt 2 a - 2{a^2}} \right)\]

Ta có: \[BM = AB - AM = \sqrt 2  - \frac{a}{2}\], \[BN = {y_N} = 4\sqrt 2 a - 2{a^2}\].

Suy ra \[S = \frac{1}{2}BM \cdot BN = \frac{1}{2}\left( {\sqrt 2  - \frac{a}{2}} \right)\left( {4\sqrt 2 a - 2{a^2}} \right) = \frac{{{a^3} - 4\sqrt 2 {a^2} + 8a}}{2}\]

Sử dụng máy tính cầm tay hoặc lập bảng biến thiên cho hàm số \(y = \frac{{{a^3} - 4\sqrt 2 {a^2} + 8a}}{2}\) trên khoảng \(\left( {0;\sqrt 2 } \right)\), ta tính được giá trị lớn nhất của S là \[S = \frac{{32\sqrt 2 }}{{27}} \approx 1,68\] khi \[a = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\].