Lớp mẫu giáo có 10 em bé, các bé đứng thành vòng tròn và cách đều nhau, đứng ở tâm vòng tròn là cô giáo. Mỗi bé cầm hai cờ, một xanh một đỏ trên mỗi tay. Cô giáo bảo "giơ lên cao một cờ", các bé giơ ngẫu nhiên một cờ. Gọi \(a\) là xác suất để không có 4 cờ nào cùng màu được giơ lên ở 4 vị trí mà 4 vị trí ấy là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Giá trị của \(\frac{{2026}}{a}\) bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

Trả lời: 5894

Mỗi em bé có 2 lựa chọn (giơ cờ xanh hoặc giơ cờ đỏ). Vì có 10 em bé, tổng số cách giơ cờ là \({2^{10}}\).

Số phần tử của không gian mẫu là \(N = {2^{10}} = 1024\).

2. Xác định các vị trí tạo thành hình chữ nhật:

10 em bé đứng cách đều nhau trên một vòng tròn tạo thành các đỉnh của một đa giác đều 10 cạnh (thập giác đều).

Một hình chữ nhật nội tiếp đường tròn phải có các đỉnh là các điểm đối xứng qua tâm đường tròn.

Trong một thập giác đều có 10 đỉnh, có 5 cặp đỉnh đối diện nhau qua tâm (tạo thành 5 đường kính).

Để tạo thành một hình chữ nhật, ta cần chọn 2 trong 5 đường kính này.

Số cách chọn 2 đường kính từ 5 đường kính là \(C_5^2 = \frac{{5 \times 4}}{2} = 10\).

Vậy có 10 hình chữ nhật có thể được tạo thành từ 4 vị trí của các em bé.

3. Điều kiện để không có 4 cờ cùng màu tại các đỉnh của hình chữ nhật:

Gọi \({C_1},{C_2},...,{C_{10}}\) là các em bé theo thứ tự trên vòng tròn.

Các cặp em bé đối diện qua tâm là \(({C_1},{C_6}),({C_2},{C_7}),({C_3},{C_8}),({C_4},{C_9}),({C_5},{C_{10}})\).

Gọi \({P_k} = ({C_k},{C_{k + 5}})\) là cặp em bé thứ \(k\) đối diện qua tâm (với \(k = 1,...,5\)).

Mỗi em bé \({C_i}\) giơ cờ xanh (B) hoặc cờ đỏ (R).

Một hình chữ nhật được tạo thành từ 4 em bé, ví dụ \({C_i},{C_j},{C_{i + 5}},{C_{j + 5}}\) (tức là từ hai cặp đường kính \({P_i}\) và \({P_j}\)).

Điều kiện của bài toán là "không có 4 cờ nào cùng màu được giơ lên ở 4 vị trí mà 4 vị trí ấy là 4 đỉnh của một hình chữ nhật".

Điều này có nghĩa là, với bất kỳ hình chữ nhật nào được chọn, 4 lá cờ tại các đỉnh của nó không được đồng thời là 4 cờ xanh và không được đồng thời là 4 cờ đỏ.

Xét các trường hợp màu sắc của một cặp đường kính \({P_k} = ({C_k},{C_{k + 5}})\):

 (B, B): Cả hai em bé giơ cờ xanh.

 (R, R): Cả hai em bé giơ cờ đỏ.

 (B, R) hoặc (R, B): Hai em bé giơ cờ khác màu.

Nếu ta chọn hai cặp đường kính \({P_i}\) và \({P_j}\) để tạo thành một hình chữ nhật:

Nếu \({P_i} = (B,B)\) và \({P_j} = (B,B)\), thì 4 em bé \({C_i},{C_{i + 5}},{C_j},{C_{j + 5}}\) đều giơ cờ xanh. Đây là trường hợp bị cấm.

Do đó, không thể có hai cặp đường kính cùng là (B,B). Tức là, số cặp (B,B) phải nhỏ hơn hoặc bằng 1.

 Tương tự, nếu \({P_i} = (R,R)\) và \({P_j} = (R,R)\), thì 4 em bé \({C_i},{C_{i + 5}},{C_j},{C_{j + 5}}\) đều giơ cờ đỏ. Đây là trường hợp bị cấm.

Do đó, không thể có hai cặp đường kính cùng là (R,R). Tức là, số cặp (R,R) phải nhỏ hơn hoặc bằng 1.

Các trường hợp khác như \((B,B)\) và \((R,R)\) (tạo thành \((B,B,R,R)\)), hoặc \((B,B)\) và \((B,R)\) (tạo thành \((B,B,B,R)\)), hoặc \((B,R)\) và \((R,B)\) (tạo thành \((B,R,R,B)\)), v.v., đều không phải là 4 cờ cùng màu và do đó được phép.

Vậy, điều kiện cần và đủ để không có hình chữ nhật nào có 4 cờ cùng màu là:

Số cặp \((B,B)\) trong 5 cặp đường kính \( \le 1\).

Số cặp \((R,R)\) trong 5 cặp đường kính \( \le 1\).

4. Tính số cách giơ cờ thỏa mãn điều kiện:

Có 5 cặp đường kính. Mỗi cặp có 4 khả năng về màu sắc:

 Loại 1: (B,B) - 1 cách.

 Loại 2: (R,R) - 1 cách.

 Loại 3: (B,R) hoặc (R,B) - 2 cách (gọi là cặp "khác màu").

Gọi \({n_{BB}}\) là số cặp (B,B), \({n_{RR}}\) là số cặp (R,R), \({n_{KM}}\) là số cặp khác màu.

Ta có \({n_{BB}} + {n_{RR}} + {n_{KM}} = 5\). Và điều kiện là \({n_{BB}} \le 1\) và \({n_{RR}} \le 1\).

Các trường hợp thỏa mãn:

Trường hợp 1: \({n_{BB}} = 0,{n_{RR}} = 0\).

Khi đó, \({n_{KM}} = 5\). Tất cả 5 cặp đều là khác màu.

Số cách chọn các cặp: \(C_5^0 \times C_5^0 \times C_5^5 = 1\).

Số cách giơ cờ cho trường hợp này: \(1 \times 1 \times {2^5} = 32\) cách.

Trường hợp 2: \({n_{BB}} = 1,{n_{RR}} = 0\).

Khi đó, \({n_{KM}} = 4\). Có 1 cặp (B,B) và 4 cặp khác màu.

Số cách chọn vị trí cho cặp (B,B): \(C_5^1 = 5\).

Số cách chọn vị trí cho các cặp khác màu: \(C_4^4 = 1\).

Số cách giơ cờ cho trường hợp này: \(5 \times 1 \times {2^4} = 5 \times 16 = 80\) cách.

Trường hợp 3: \({n_{BB}} = 0,{n_{RR}} = 1\).

Khi đó, \({n_{KM}} = 4\). Có 1 cặp (R,R) và 4 cặp khác màu.

Số cách chọn vị trí cho cặp (R,R): \(C_5^1 = 5\).

Số cách chọn vị trí cho các cặp khác màu: \(C_4^4 = 1\).

Số cách giơ cờ cho trường hợp này: \(5 \times 1 \times {2^4} = 5 \times 16 = 80\) cách.

Trường hợp 4: \({n_{BB}} = 1,{n_{RR}} = 1\).

Khi đó, \({n_{KM}} = 3\). Có 1 cặp (B,B), 1 cặp (R,R) và 3 cặp khác màu.

Số cách chọn vị trí cho cặp (B,B): \(C_5^1 = 5\).

Số cách chọn vị trí cho cặp (R,R) từ 4 vị trí còn lại: \(C_4^1 = 4\).

Số cách chọn vị trí cho các cặp khác màu từ 3 vị trí còn lại: \(C_3^3 = 1\).

Số cách giơ cờ cho trường hợp này: \(5 \times 4 \times 1 \times {2^3} = 20 \times 8 = 160\) cách.

Tổng số cách giơ cờ thỏa mãn điều kiện là: \({N_{th?am{\rm{\~a }}n}} = 32 + 80 + 80 + 160 = 352\) cách.

5. Tính xác suất \(a\):

Xác suất \(a\) là tỉ lệ giữa số cách giơ cờ thỏa mãn điều kiện và tổng số cách giơ cờ.

\(a = \frac{{{N_{th?am{\rm{\~a }}n}}}}{N} = \frac{{352}}{{1024}}\)\( = \frac{{11}}{{32}}\)\( \Rightarrow \frac{{2026}}{a} = \frac{{2026}}{{\frac{{11}}{{32}}}}\)\( = \frac{{64832}}{{11}} \approx 5893.8181...\)

Làm tròn đến chữ số hàng đơn vị, ta được \(5894\).