Một công ty X có một khu đất hình chữ nhật ABCD. Biết \[AB = \sqrt 2 \] km, \[AD = 4\] km. Một góc khu đất là hồ nước, biên của hồ là đường cong AC, là một phần của parabol có đỉnh tại A và trục đối xứng là đường thẳng chứa AD. Công ty cần kẻ một dải cách li thẳng MN đi qua một điểm P trên đường cong AC với P khác A, C sao cho \[M \in AB,N \in BC\] (như hình vẽ). Dải cách li chiếm diện tích không đáng kể nhưng không được đi qua hồ. Gọi diện tích tam giác BMN là S (đơn vị: \[{\rm{k}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\]). Tìm giá trị lớn nhất của S (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: \[1,68\].

Ta gắn hệ trục toạ độ \(Oxy\) như hình vẽ với điểm A trùng với gốc O, đơn vị trên mỗi trục là km.

Khi đó ta có: \[A\left( {0;0} \right)\], \[B\left( {\sqrt 2 ;0} \right)\], \[D\left( {0;4} \right)\], \[C\left( {\sqrt 2 ;4} \right)\].

Parabol có đỉnh \[A\left( {0;0} \right)\] và trục đối xứng Oy nên có phương trình \[y = a{x^2}\]

Vì parabol đi qua điểm \[C\left( {\sqrt 2 ;4} \right)\] nên \[4 = a \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} \Rightarrow a = 2\].

Do đó đường cong AC có phương trình là \[y = 2{x^2},\,\,\left( {0 \le x \le \sqrt 2 } \right)\].

Với điểm \[P\left( {a;b} \right)\,\,\left( {0 < a < \sqrt 2 } \right)\] thuộc đường cong AC thì \[b = 2{a^2}\].

Vì MN đi qua P và không đi qua hồ nên MN là một phần của đường thẳng d là tiếp tuyến của đường cong AC tại điểm P, có phương trình là:

\[y = y'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + b = 4a\left( {x - a} \right) + 2{a^2} \Leftrightarrow y = 4ax - 2{a^2}\].

Vì \[M = d \cap AB \Rightarrow {y_M} = 0 \Leftrightarrow 4a{x_M} - 2{a^2} = 0 \Rightarrow {x_M} = \frac{a}{2}\] nên \[M\left( {\frac{a}{2};0} \right)\].

Vì \[N = d \cap BC \Rightarrow {x_N} = \sqrt 2  \Rightarrow {y_N} = 4\sqrt 2 a - 2{a^2}\] nên \[N\left( {\sqrt 2 ;4\sqrt 2 a - 2{a^2}} \right)\]

Ta có: \[BM = AB - AM = \sqrt 2  - \frac{a}{2}\], \[BN = {y_N} = 4\sqrt 2 a - 2{a^2}\].

Suy ra \[S = \frac{1}{2}BM \cdot BN = \frac{1}{2}\left( {\sqrt 2  - \frac{a}{2}} \right)\left( {4\sqrt 2 a - 2{a^2}} \right) = \frac{{{a^3} - 4\sqrt 2 {a^2} + 8a}}{2}\]

Sử dụng máy tính cầm tay hoặc lập bảng biến thiên cho hàm số \(y = \frac{{{a^3} - 4\sqrt 2 {a^2} + 8a}}{2}\) trên khoảng \(\left( {0;\sqrt 2 } \right)\), ta tính được giá trị lớn nhất của S là \[S = \frac{{32\sqrt 2 }}{{27}} \approx 1,68\] khi \[a = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\].