Một viên gạch lát nền nhà có dạng hình vuông với hoa văn được thiết kế bởi một học sinh lớp 12. Xét hình phẳng có diện tích \({S_1}\) được tạo thành bởi các đường cong \(\left( {{L_1}} \right),\left( {{L_2}} \right)\) và một cạnh viên gạch, trong đó đường \(\left( {{L_1}} \right)\) là tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(MA = \sqrt 2 d\left( {M,{\rm{\Delta }}} \right)\) (\(A\) là trung điểm một cạnh viên gạch; \({\rm{\Delta }}\) là đường phân giác góc phần tư thứ nhất theo hình vẽ); \(\left( {{L_2}} \right)\) đối xứng với \(\left( {{L_1}} \right)\) qua trục \(Ox\). Biết viên gạch này có kích thước cạnh bằng 60 cm, tính tổng diện tích \({S_1} + {S_2} + {S_3} + {S_4}\) và làm tròn đến hàng đơn vị của \(c{m^2}\).

Đáp án: \[1,68\].

Ta gắn hệ trục toạ độ \(Oxy\) như hình vẽ với điểm A trùng với gốc O, đơn vị trên mỗi trục là km.

Khi đó ta có: \[A\left( {0;0} \right)\], \[B\left( {\sqrt 2 ;0} \right)\], \[D\left( {0;4} \right)\], \[C\left( {\sqrt 2 ;4} \right)\].

Parabol có đỉnh \[A\left( {0;0} \right)\] và trục đối xứng Oy nên có phương trình \[y = a{x^2}\]

Vì parabol đi qua điểm \[C\left( {\sqrt 2 ;4} \right)\] nên \[4 = a \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} \Rightarrow a = 2\].

Do đó đường cong AC có phương trình là \[y = 2{x^2},\,\,\left( {0 \le x \le \sqrt 2 } \right)\].

Với điểm \[P\left( {a;b} \right)\,\,\left( {0 < a < \sqrt 2 } \right)\] thuộc đường cong AC thì \[b = 2{a^2}\].

Vì MN đi qua P và không đi qua hồ nên MN là một phần của đường thẳng d là tiếp tuyến của đường cong AC tại điểm P, có phương trình là:

\[y = y'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + b = 4a\left( {x - a} \right) + 2{a^2} \Leftrightarrow y = 4ax - 2{a^2}\].

Vì \[M = d \cap AB \Rightarrow {y_M} = 0 \Leftrightarrow 4a{x_M} - 2{a^2} = 0 \Rightarrow {x_M} = \frac{a}{2}\] nên \[M\left( {\frac{a}{2};0} \right)\].

Vì \[N = d \cap BC \Rightarrow {x_N} = \sqrt 2  \Rightarrow {y_N} = 4\sqrt 2 a - 2{a^2}\] nên \[N\left( {\sqrt 2 ;4\sqrt 2 a - 2{a^2}} \right)\]

Ta có: \[BM = AB - AM = \sqrt 2  - \frac{a}{2}\], \[BN = {y_N} = 4\sqrt 2 a - 2{a^2}\].

Suy ra \[S = \frac{1}{2}BM \cdot BN = \frac{1}{2}\left( {\sqrt 2  - \frac{a}{2}} \right)\left( {4\sqrt 2 a - 2{a^2}} \right) = \frac{{{a^3} - 4\sqrt 2 {a^2} + 8a}}{2}\]

Sử dụng máy tính cầm tay hoặc lập bảng biến thiên cho hàm số \(y = \frac{{{a^3} - 4\sqrt 2 {a^2} + 8a}}{2}\) trên khoảng \(\left( {0;\sqrt 2 } \right)\), ta tính được giá trị lớn nhất của S là \[S = \frac{{32\sqrt 2 }}{{27}} \approx 1,68\] khi \[a = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\].

Đáp án: 769.

Ta có số tiền ban đầu \(A = 850\) triệu

Lãi theo tháng \(r = 0,4\% \)

Số tiền rút hàng tháng \(X = 10\) triệu

Cuối tháng 1, số tiền còn là \({T_1} = A(1 + r) - X\)

Cuối tháng 2, số tiền còn là

\({T_2} = {T_1}(1 + r) - X = \left( {A(1 + r) - X} \right) \times (1 + r) - X = A{(1 + r)^2} - X(1 + r) - X\)

……………….

Cuối tháng n, số tiền còn là \({T_n} = A{(1 + r)^n}\) \[ - X{(1 + r)^{n - 1}} - ... - X\]\( = A{(1 + r)^n} - X\frac{{1 - {{(1 + r)}^n}}}{{1 - (1 + r)}}\)

Với \(n = 12\) ta có \({T_{12}} = 769\) triệu đồng.