Cho hàm số \[f(x) = 2x + 1\]và \[F(x)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f(x)\].

Đáp số: 1105

Tọa độ \(A\left( {30;0} \right)\) và phương trình \({\rm{\Delta }}:x - y = 0\).

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là tập hợp các điểm thuộc đường cong \(\left( {{L_1}} \right)\).

Ta có: \(MA = \sqrt 2 d\left( {M,{\rm{\Delta }}} \right) \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 30)}^2} + {y^2}}  = \sqrt 2  \cdot \frac{{\left| {x - y} \right|}}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 60x + 900 = {x^2} + {y^2} - 2xy\)

\( \Leftrightarrow xy = 30x - 450 \Leftrightarrow y = \frac{{30x - 450}}{x}\).

Giao điểm giữa \(\left( {{L_1}} \right)\) với \(Ox\) thỏa hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{30x - 450}}{x}\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = 15\).

Ta có: $S_1+S_2+S_3+S_4=4S_1=4\cdot 2\underset{15}{\overset{30}{\int }}\frac{30x-450}{x}\text{ d}x\approx 1105\left({\text{cm}}^2\right)$.

Đáp án: \[1,68\].

Ta gắn hệ trục toạ độ \(Oxy\) như hình vẽ với điểm A trùng với gốc O, đơn vị trên mỗi trục là km.

Khi đó ta có: \[A\left( {0;0} \right)\], \[B\left( {\sqrt 2 ;0} \right)\], \[D\left( {0;4} \right)\], \[C\left( {\sqrt 2 ;4} \right)\].

Parabol có đỉnh \[A\left( {0;0} \right)\] và trục đối xứng Oy nên có phương trình \[y = a{x^2}\]

Vì parabol đi qua điểm \[C\left( {\sqrt 2 ;4} \right)\] nên \[4 = a \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} \Rightarrow a = 2\].

Do đó đường cong AC có phương trình là \[y = 2{x^2},\,\,\left( {0 \le x \le \sqrt 2 } \right)\].

Với điểm \[P\left( {a;b} \right)\,\,\left( {0 < a < \sqrt 2 } \right)\] thuộc đường cong AC thì \[b = 2{a^2}\].

Vì MN đi qua P và không đi qua hồ nên MN là một phần của đường thẳng d là tiếp tuyến của đường cong AC tại điểm P, có phương trình là:

\[y = y'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + b = 4a\left( {x - a} \right) + 2{a^2} \Leftrightarrow y = 4ax - 2{a^2}\].

Vì \[M = d \cap AB \Rightarrow {y_M} = 0 \Leftrightarrow 4a{x_M} - 2{a^2} = 0 \Rightarrow {x_M} = \frac{a}{2}\] nên \[M\left( {\frac{a}{2};0} \right)\].

Vì \[N = d \cap BC \Rightarrow {x_N} = \sqrt 2  \Rightarrow {y_N} = 4\sqrt 2 a - 2{a^2}\] nên \[N\left( {\sqrt 2 ;4\sqrt 2 a - 2{a^2}} \right)\]

Ta có: \[BM = AB - AM = \sqrt 2  - \frac{a}{2}\], \[BN = {y_N} = 4\sqrt 2 a - 2{a^2}\].

Suy ra \[S = \frac{1}{2}BM \cdot BN = \frac{1}{2}\left( {\sqrt 2  - \frac{a}{2}} \right)\left( {4\sqrt 2 a - 2{a^2}} \right) = \frac{{{a^3} - 4\sqrt 2 {a^2} + 8a}}{2}\]

Sử dụng máy tính cầm tay hoặc lập bảng biến thiên cho hàm số \(y = \frac{{{a^3} - 4\sqrt 2 {a^2} + 8a}}{2}\) trên khoảng \(\left( {0;\sqrt 2 } \right)\), ta tính được giá trị lớn nhất của S là \[S = \frac{{32\sqrt 2 }}{{27}} \approx 1,68\] khi \[a = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\].