Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \[B\] \[\left( {BC > BA} \right),\] với \(M\) là trung điểm của \[AC.\] Từ \[M\] kẻ \[ME\] vuông góc với \[BC\] \[\left( {E \in BC} \right),\] \[MD\;\] vuông góc với \[AB\] \[\left( {D \in AB} \right).\]

a) Chứng minh tứ giác \[BDME\] là hình chữ nhật.

b) Lấy điểm \[F\] thuộc tia đối tia \[ME\] sao cho \[MF = ME.\] Chứng minh: \[BE = EC\] và tứ giác \[AFCE\] là hình bình hành.

c) Gọi \[I,{\rm{ }}K\] lần lượt là giao điểm của \[BM,{\rm{ }}BF\;\] với \[AE.\] Tính \[\frac{{IK}}{{FC}}?\]

a) Ta có:

\[ME \bot AC\] (giả thiết) nên \(\widehat {MEC} = \widehat {MEB} = 90^\circ .\)

\[MD \bot AB\] (giả thiết) nên \(\widehat {MDA} = \widehat {MDB} = 90^\circ .\)

\[\Delta ABC\] vuông tại \(B\) (giả thiết) nên \(\widehat {ABC} = 90^\circ .\)

Xét tứ giác \[BDME\] có: \(\widehat {MDB} = \widehat {MEB} = \widehat {ABC} = 90^\circ \) nên \[BDME\] là hình chữ nhật.

b) Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[B\] có \[BM\] là đường trung tuyến \[(M\] là trung điểm \[AC)\] nên\[AM = BM = CM = \frac{{BC}}{2}\] (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Cách 1.

Xét \[\Delta BMC\] có: \[BM = MC\] (chứng minh trên) nên \[\Delta BMC\] cân (dấu hiệu nhận biết) có đường cao \[ME\] đồng thời là đường trung tuyến.

Cách 2.

Xét \[\Delta MEB\] và \[\Delta MEC\] có:

\[ME\;\] chung;

\[BM = MC\] (chứng minh trên);

\(\widehat {MEC} = \widehat {MEB} = 90^\circ .\)

Do đó \[\Delta MEB = \Delta MEC\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

c) Do \[AFCE\] là hình bình hành (câu b) nên \[FA\,{\rm{//}}\,CE\] \[FA = CE,\] \[AE = CF.\]

Mà \[BE = EC\] nên \[FA = BE = EC.\]

Xét tứ giác \[AFEB\] có: \[FA\,{\rm{//}}\,BE\] (do \[FA\,{\rm{//}}\,CE)\] và \[FA = BE\] nên \[AFEB\] là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).