Cho hai biểu thức: \(A = \frac{{x - 2}}{{x + 2}} + \frac{{6x - 4}}{{{x^2} - 4}}\) và \(B = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) với \(x \ne - 1;\,\,x \ne \pm 2.\)

a) Tính giá trị biểu thức \[B\] biết \[x = 3.\]

b) Chứng minh: \[A = \frac{x}{{x - 2}}.\]

c) Tìm \[x\] nguyên để biểu thức \[P = A + B\] đạt giá trị nguyên?

a) Thay \[x = 3\] (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(B\) ta được: \(B = \frac{{3 + 1}}{{3 - 2}} = 4.\)

Vậy B = 4 khi \[x = 3.\]

b) Với \(x \ne - 1;\,\,x \ne \pm 2,\) ta có:

\(A = \frac{{x - 2}}{{x + 2}} + \frac{{6x - 4}}{{{x^2} - 4}}\)\[ = \frac{{x - 2}}{{x + 2}} + \frac{{6x - 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{6x - 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]\[ = \frac{{{x^2} - 4x + 4 + 6x - 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{{x^2} + 2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]\[ = \frac{x}{{x - 2}}.\]

Vậy với \(x \ne - 1;\,\,x \ne \pm 2\) thì \(A = \frac{x}{{x - 2}}.\)

c) Với \(x \ne - 1;\,\,x \ne \pm 2,\) ta có:

\[P = A + B = \frac{x}{{x - 2}} + \frac{{x + 1}}{{x - 2}} = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}} = \frac{{2\left( {x - 2} \right) + 5}}{{x - 2}} = 2 + \frac{5}{{x - 2}}.\]

Với \(x\) nguyên, để \(P\) nguyên thì \[5\,\, \vdots \,\,x - 2\] hay \(x - 2 \in \)Ư(5) = \(\left\{ { \pm 1;\,\, \pm 5} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

Các giá trị \(x\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy \(x \in \left\{ { - 3;\,\,1;\,\,3;\,\,7} \right\}.\)