Giải các phương trình sau:
a) \(\frac{1}{x} + \frac{1}{{2x}} = \frac{3}{2}\). b) \(\frac{{{x^2} - 6}}{x} = x + \frac{3}{2}\).
c) \[\frac{{3x}}{{4x - 3}} = - 2\]. d) \(\frac{3}{{8x}} - \frac{1}{{2x}} = \frac{1}{{{x^2}}}\).
e) \(\frac{x}{{x - 2}} = \frac{2}{{x - 2}} + 7\). f) \(\frac{2}{{x - 3}} = \frac{1}{{x + 2}}\).
g) \(\frac{{3x - 2}}{{x + 7}} = \frac{{6x + 1}}{{2x - 3}}\). h) \(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} + \frac{2}{x} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}\).
i) \(\frac{{x + 3}}{{x - 3}} = \frac{3}{{{x^2} - 3x}} + \frac{1}{x}\). j) \(\frac{1}{x} - \frac{{x + 4}}{{x - 4}} = \frac{4}{{4x - {x^2}}}\).
k) \(\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{2 + x}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{{x^2} - 4}}\). l) \(\frac{{2x - 5}}{{x + 4}} + \frac{x}{{4 - x}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{{x^2} - 16}}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
|
a) Điều kiện xác định: \(x \ne 0\). \(\frac{1}{x} + \frac{1}{{2x}} = \frac{3}{2}\) \(\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)\frac{1}{x} = \frac{3}{2}\) \(\frac{3}{2}.\frac{1}{x} = \frac{3}{2}\) \(\frac{1}{x} = 1\) \(x = 1\) (thỏa mãn). Vậy nghiệm phương trình đã cho là \[x = 1\]. c) Điều kiện xác định: \[x \ne \frac{3}{4}\]. \[\frac{{3x}}{{4x - 3}} = - 2\] \[\frac{{3x}}{{4x - 3}} = \frac{{ - 2\left( {4x - 3} \right)}}{{4x - 3}}\] \[3x = - 2\left( {4x - 3} \right)\] \[3x = - 8x + 6\] \[3x + 8x = 6\] \[11x = 6\] \[x = \frac{6}{{11}}\] (thỏa mãn). Vậy nghiệm phương trình đã cho là \[x = \frac{6}{{11}}.\] e) Điều kiện xác định: \[x \ne 2\]. \(\frac{x}{{x - 2}} = \frac{2}{{x - 2}} + 7\) \[\frac{x}{{x - 2}} = \frac{{2 + 7\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}}\] \(x = 2 + 7\left( {x - 2} \right)\) \[x = 2 + 7x - 14\] \[x = 7x - 12\] \[ - 6x = - 12\] \[x = 2\] (không thỏa mãn). Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. g) Điều kiện xác định \(x \ne - 7,\,\,x \ne \frac{3}{2}\). \(\frac{{3x - 2}}{{x + 7}} = \frac{{6x + 1}}{{2x - 3}}\)\[\frac{{\left( {3x - 2} \right)\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {x + 7} \right)\left( {2x - 3} \right)}} = \frac{{\left( {6x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)}}{{\left( {x + 7} \right)\left( {2x - 3} \right)}}\] \(\left( {3x - 2} \right)\left( {2x - 3} \right) = \left( {6x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)\) \(6{x^2} - 9x - 4x + 6 = 6{x^2} + 42x + x + 7\) \(6{x^2} - 6{x^2} - 9x - 4x - 42x - x = 7 - 6\) \( - 56x = 1\) \(x = - \frac{1}{{56}}\) (thỏa mãn). Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = - \frac{1}{{56}}\). i) Điều kiện xác định \(x \ne 0;\,\,x \ne 3.\) \(\frac{{x + 3}}{{x - 3}} = \frac{3}{{{x^2} - 3x}} + \frac{1}{x}\) \(\frac{{\left( {x + 3} \right)x}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{3}{{x\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x - 3}}{{x\left( {x - 3} \right)}}\) \(\left( {x + 3} \right)x = 3 + x - 3\) \({x^2} + 3x = 3 + x - 3\) \({x^2} + 2x = 0\) \(x\left( {x + 2} \right) = 0\) \(x = 0\) hoặc \(x + 2 = 0\) \( = 0\) (không thỏa mãn) hoặc \(x = - 2\) (thỏa mãn). Vậy nghiệm phương trình đã cho là \(x = - 2\). |
b) Điều kiện xác định: \(x \ne 0\). \(\frac{{{x^2} - 6}}{x} = x + \frac{3}{2}\) \(\frac{{2\left( {{x^2} - 6} \right)}}{{2x}} = \frac{{2x \cdot x}}{{2x}} + \frac{{3x}}{{2x}}\) \(2\left( {{x^2} - 6} \right) = 2x \cdot x + 3x\) \(2{x^2} - 12 = 2{x^2} + 3x\) \(3x = - 12\) \(x = - 4\) (thỏa mãn). Vậy nghiệm phương trình đã cho là \[x = - 4\]. d) Điều kiện xác định: \(x \ne 0\). \(\frac{3}{{8x}} - \frac{1}{{2x}} = \frac{1}{{{x^2}}}\) \(\frac{{3x}}{{8{x^2}}} - \frac{{4x}}{{8{x^2}}} = \frac{8}{{8{x^2}}}\) \(3x - 4x = 8\) \( - x = 8\) \(x = - 8\) (thỏa mãn). Vậy nghiệm phương trình đã cho là \[x = - 8.\] f) Điều kiện xác định: \(x \ne 3,\,\,x \ne - 2\). \(\frac{2}{{x - 3}} = \frac{1}{{x + 2}}\) \(\frac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) \(2\left( {x + 2} \right) = x - 3\) \(2x + 4 = x - 3\) \(x = - 7\) (thỏa mãn). Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = - 7\). h) Điều kiện xác định \(x \ne - 1,\,\,x \ne 0\). \(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} + \frac{2}{x} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}\) \(\frac{{\left( {2x + 1} \right)x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}\) \(\left( {2x + 1} \right)x + 2\left( {x + 1} \right) = 2\) \(2{x^2} + x + 2x + 2 = 2\) \(2{x^2} + 3x = 0\) \(x\left( {2x + 3} \right) = 0\) \(x = 0\) hoặc \(2x + 3 = 0\) \(x = 0\) (không thỏa mãn) hoặc \(x = - \frac{3}{2}\) (thỏa mãn). Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = - \frac{3}{2}\). j) Điều kiện xác định: \(x \ne 0,\,\,x \ne 4\). \(\frac{1}{x} - \frac{{x + 4}}{{x - 4}} = \frac{4}{{4x - {x^2}}}\) \(\frac{1}{x} - \frac{{x + 4}}{{x - 4}} = \frac{{ - 4}}{{{x^2} - 4x}}\) \(\frac{{x - 4}}{{x\left( {x - 4} \right)}} - \frac{{\left( {x + 4} \right)x}}{{x\left( {x - 4} \right)}} = \frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 4} \right)}}\) \(x - 4 - \left( {x + 4} \right)x = - 4\) \(x - 4 - {x^2} - 4x = - 4\) \( - {x^2} - 3x = 0\) \( - x\left( {x + 3} \right) = 0\) \( - x = 0\) hoặc \(x + 3 = 0\) \(x = 0\) (không thỏa mãn) hoặc \(x = - 3\) (thỏa mãn). Vậy nghiệm phương trình đã cho là \(x = - 3.\) |
|
k) Điều kiện xác định: \(x \ne 2,\,\,\,x \ne - 2\). \(\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{2 + x}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{{x^2} - 4}}\) \(\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) \({\left( {x + 2} \right)^2} - {\left( {x - 2} \right)^2} = {x^2} + 16\) \({x^2} + 4x + 4 - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = {x^2} + 16\) \({x^2} + 4x + 4 - {x^2} + 4x - 4 = {x^2} + 16\) \({x^2} - 8x + 16 = 0\) \({\left( {x - 4} \right)^2} = 0\) \(x - 4 = 0\) \(x = 4\) (thỏa mãn) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 4\). |
|
|
l) Điều kiện xác định: \(xk - 4,\,\,x \ne 4\). \(\frac{{2x - 5}}{{x + 4}} + \frac{x}{{4 - x}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{{x^2} - 16}}\) \(\frac{{2x - 5}}{{x + 4}} - \frac{x}{{x - 4}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{{x^2} - 16}}\) \(\frac{{\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} - \frac{{x\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}\) \(\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 4} \right) - x\left( {x + 4} \right) = - 17x + 56\) \(2{x^2} - 8x - 5x + 20 - {x^2} - 4x = - 17x + 56\) \({x^2} = 36\) \(x = 6\) hoặc \(x = - 6\) (thõa mãn) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 6;\,\,x = - 6.\) |
|
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có: \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\]
\[ = {a^3} + a{b^2} + a{c^2} + {a^2}b + {b^3} + b{c^2} + {a^2}c + {b^2}c + {c^3}\]
\[ = \left( {{a^3} + a{b^2}} \right) + \left( {{b^3} + b{c^2}} \right) + \left( {{c^3} + c{a^2}} \right) + {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a\].
Mà \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) với mọi số thực dương \(a,\,\,b\) nên \[{a^2} + {b^2} \ge 2ab.\]
Suy ra \[{a^3} + a{b^2} \ge 2{a^2}b.\]
Tương tự, ta có: \[{b^3} + b{c^2} \ge 2{b^2}c;\] \[{c^3} + c{a^2} \ge 2{c^2}a.\]
Suy ra \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 3\left( {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a} \right) > 0\]
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a > 0\].
Mặt khác, \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca\)
Hay \({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca = {3^2} = 9\)
\(2ab + 2bc + 2ca = 9 - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)
Do đó \[P = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\]
\[ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{{9 - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}\]
\[ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} - \frac{1}{2}\].
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với mọi số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) ta có:
\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} = \frac{{{3^2}}}{3} = 3.\)
Do đó \[P = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} - \frac{1}{2}\]
\[ = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} + \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} + \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{1}{2}\]
\[ \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} \cdot \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\]
\[ = 2\sqrt {\frac{9}{4}} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 4.\]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(4\) khi \(a = b = c = 1.\)
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng là: \(\overline {xy} \) \(\left( {1 \le x \le 9,\,\,0 \le y \le 9,\,\,x \in \mathbb{N},\,\,y \in \mathbb{N}} \right).\)
⦁ Tổng của hai chữ số đó là: \(x + y\).
Theo bài, tổng của hai chữ số đó bằng 10 nên ta có phương trình: \(x + y = 10\). (1)
Giá trị của số cần tìm là \(\overline {xy} = 10x + y\)
Khi thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số thì được số tự nhiên có ba chữ số là \(\overline {x0y} = 100x + y.\)
Theo bài, số tự nhiên có ba chữ số này chia cho số cần tìm thì được thương là 7 và dư là 12 nên ta có: \(\overline {x0y} = \overline {xy} \cdot 7 + 12\)
Suy ra \(100x + y = \left( {10x + y} \right) \cdot 7 + 12\)
\(100x + y = 70x + 7y + 12\)
\(30x - 6y = 12\)
\(5x - y = 2\). (2)
Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 10}\\{5x - y = 2}\end{array}} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: \(6x = 12,\) suy ra \[x = 2\] (thỏa mãn).
Thay \(x = 2\) vào phương trình (1), ta được \(2 + y = 10\), suy ra \(y = 8\) (thỏa mãn).
Vậy số cần tìm là: 28.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + y = 0}\\{x + 2y = 5.}\end{array}} \right.\) b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 5y = 21}\\{ - 6x + 3y = - 45.}\end{array}} \right.\)
c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4x + 5y = 8}\\{2x - y = 2.}\end{array}} \right.\) d) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 4y = - 6}\\{x - 4y = 14.}\end{array}} \right.\)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + y = 0}\\{x + 2y = 5.}\end{array}} \right.\) b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 5y = 21}\\{ - 6x + 3y = - 45.}\end{array}} \right.\)
c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4x + 5y = 8}\\{2x - y = 2.}\end{array}} \right.\) d) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 4y = - 6}\\{x - 4y = 14.}\end{array}} \right.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập