Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Tự luận

a) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 5y = 16\\ - x + 3y = - 10\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: \( - 2y = 6\). Suy ra \(y = - 3\).

Thay \(y = - 3\) vào phương trình \( - x + 3y = - 10\), ta được:

\( - x + 3 \cdot \left( { - 3} \right) = - 10\) hay \( - x - 9 = - 10,\) do đó \(x = 1\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {1; - 3} \right).\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l} - x + 3y = - 10\\2x + 3y = - 1\end{array} \right.\)       

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được:

\( - 3x = - 9\). Suy ra \(x = 3\).

Thay \(x = 3\) vào phương trình \(2x + 3y = - 1\), ta được:

\(2 \cdot 3 + 3y = - 1\) hay \(6 + 3y = - 1\), suy ra \(3y = - 7\), do đó \(y = \frac{{ - 7}}{3}\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {3;\,\,\frac{{ - 7}}{3}} \right).\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\4x + 3y = 2\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 4y = 0\\4x + 3y = 2.\end{array} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được:

\(y = - 2.\)

Thay \(y = - 2\) vào phương trình \(x + y = 0,\) ta được:

\(x + \left( { - 2} \right) = 0,\) do đó \(x = 2\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {2;\,\, - 2} \right).\)

d) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = - 2\\ - 6x + 4y = 4.\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}6x - 4y = - 4\\ - 6x + 4y = 4.\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: \(0x + 0y = 0\) hay \(0x = 0.\)

Phương trình trên vô số nghiệm \(x \in \mathbb{R}.\)

Từ phương trình \(3x - 2y = - 2,\) ta có \(2y = 3x + 2\) hay \(y = \frac{3}{2}x + 1.\)

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát của hệ phương trình là: \(\left( {x;\,\,\frac{3}{2}x + 1} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.

e) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 6y = 5\\x - 3y = 2.\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 6y = 5\\2x - 6y = 4.\end{array} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được:

\(0x + 0y = 1\) hay \(0x = 1\).

Phương trình trên vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

f) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}x + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2}}\\{\frac{2}{3}x - \frac{3}{4}y = - 1}\end{array}} \right.\)         

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 3, ta được :\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}x + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2}}\\{2x - \frac{9}{4}y = - 3.}\end{array}} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:

\(\frac{5}{2}x = - \frac{5}{2}.\) Suy ra \(x = - 1.\)

Thay \(x = - 1\) vào phương trình\(\frac{1}{2}x + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2}\), ta được :

\(\frac{1}{2} \cdot \left( { - 1} \right) + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2}\) hay \( - \frac{1}{2} + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2},\) suy ra \(\frac{9}{4}y = 1,\) do đó \(y = \frac{4}{9}.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( { - 1;\,\,\frac{4}{9}} \right).\)

a) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 7\\\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 8\end{array} \right.\) (Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0)\)

Đặt \(\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b\), khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}3a - b = 7\\2a + b = 8.\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:

\(5a = 15,\) suy ra \(a = 3\).

Thay \(a = 3\) vào phương trình \(2a + b = 8,\) ta được:

\(2 \cdot 3 + b = 8,\) suy ra \(b = 2\).

Với \(a = 3\) ta có \(\frac{1}{x} = 3,\) suy ra \(x = \frac{1}{3}\) (thỏa mãn điều kiện);

Với \(b = 2\) ta có \(\frac{1}{y} = 2,\) suy ra \(y = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{1}{3};\,\,\frac{1}{2}} \right)\).

b) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} - \frac{4}{y} = 2\\\frac{4}{x} - \frac{5}{y} = 3\end{array} \right.\) (Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0).\)

Đặt \(\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b\), khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}3a - 4b = 2\\4a - 5b = 3.\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với \(4\) và nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 3, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}12a - 16b = 8\\12a - 15b = 9.\end{array} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\( - b = - 1,\) suy ra \(b = 1.\)

Thay \(b = 1\) vào phương trình \(3a - 4b = 2,\) ta được:

\(3a - 4 \cdot 1 = 2,\) hay \(3a = 6,\) suy ra \(a = 2.\)

Với \(a = 2\) ta có \(\frac{1}{x} = 2,\) suy ra \(x = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn điều kiện);

Với \(b = 1\) ta có \(\frac{1}{y} = 1,\) suy ra \(y = 1\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{1}{2};\,\,1} \right)\).

c) \[\left\{ \begin{array}{l}12x + 3y = 4xy\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.\] (Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0).\)

Chia hai vế của phương trình thứ nhất của hệ đã cho cho \(xy\) (do \(xy \ne 0)\), ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{12}}{y} + \frac{3}{x} = 4\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} + \frac{{12}}{y} = 4\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.\]

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với 3, ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{x} + \frac{{36}}{y} = 12\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.\]

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\(\frac{{44}}{y} = 11,\) suy ra \(y = 4\) (thỏa mãn điều kiện).

Thay \(y = 4\) vào phương trình \[\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\], ta được:

\[\frac{9}{x} - \frac{8}{4} = 1\] hay \[\frac{9}{x} - 2 = 1,\] do đó \(\frac{9}{x} = 3\) nên \(x = 3\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {3;\,\,4} \right)\).

d) \[\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5\end{array} \right.\]

Cách 1. Đặt \(a = x + y\) và \(b = x - y\), hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 4\\a + 2b = 5.\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 2, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 4\\2a + 4b = 10.\end{array} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\( - b = - 6,\) suy ra \(b = 6.\)

Thay \(b = 6\) vào phương trình \(a + 2b = 5,\) ta được:

\(a + 2 \cdot 6 = 5,\) suy ra \(a = - 7.\)

Với \(a = - 7,\,\,b = 6\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 7\\x - y = 6.\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:

\(2x = - 1\), suy ra \(x = - \frac{1}{2}\).

Thay \(x = - \frac{1}{2}\) vào phương trình \(x - y = 6,\) ta được:

\( - \frac{1}{2} - y = 6,\) suy ra \(y = - \frac{{13}}{2}.\)

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là \(\left( {x;y} \right) = \left( { - \frac{1}{2}; - \frac{{13}}{2}} \right)\).

Cách 2. \[\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Từ phương trình (1), ta có: \[2x + 2y + 3x - 3y = 4\] hay \(5x - y = 4.\)   (3)

Từ phương trình (2), ta có: \(x + y + 2x - 2y = 5\) hay \(3x - y = 5.\)   (4)

Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 4\\3x - y = 5.\end{array} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\(2x = - 1,\) suy ra \(x = - \frac{1}{2}.\)

Thay \(x = - \frac{1}{2}\) vào phương trình \(5x - y = 4,\) ta được:

\(5 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) - y = 4,\) hay \( - \frac{5}{2} - y = 4,\) suy ra \(y = - \frac{{13}}{2}.\)

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là \(\left( {x;y} \right) = \left( { - \frac{1}{2}; - \frac{{13}}{2}} \right)\).

e) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{2x - y}} - \frac{6}{{x + y}} = - 1\\\frac{1}{{2x - y}} - \frac{1}{{x + y}} = 0\end{array} \right.\)   (Điều kiện xác định: \(y \ne 2x;\,\,y \ne - x).\)

Đặt \(\frac{1}{{2x - y}} = u;\,\,\frac{1}{{x + y}} = v\), hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}3u - 6v = - 1\\u - v = 0.\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 3, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}3u - 6v = - 1\\3u - 3v = 0.\end{array} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\( - 3v = - 1\), suy ra \[v = \frac{1}{3}\].

Thay \[v = \frac{1}{3}\] vào phương trình \(u - v = 0,\) ta được: \(u - \frac{1}{3} = 0,\) suy ra \(u = \frac{1}{3}\).

Với \(u = \frac{1}{3}\) và \[v = \frac{1}{3}\], ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{2x - y}} = \frac{1}{3}\,\,\,\,\left( 5 \right)\\\frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{3}\,\,\,\,\,\,\,\left( 6 \right)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (5) ta có: \(2x - y = 3.\,\,\,\,\left( 7 \right)\)

Từ phương trình (6) ta có: \(x + y = 3.\,\,\,\,\left( 8 \right)\)

Từ (7) và (8) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 3\\x + y = 3\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:

\(3x = 6\) hay \(x = 2\).

Thay \(x = 2\) vào phương trình \(x + y = 3,\) ta được: \(2 + y = 3\), suy ra \(y = 1\) (thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {2;1} \right)\).

f) \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{5x}}{{x + 1}} + \frac{y}{{y - 3}} = 27\\\frac{{2x}}{{x + 1}} - \frac{{3y}}{{y - 3}} = 4\end{array} \right.\] (Điều kiện xác định: \[x \ne - 1;y \ne 3).\]

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ phương trình đã cho với \[3\], ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{15x}}{{x + 1}} + \frac{{3y}}{{y - 3}} = 81\\\frac{{2x}}{{x + 1}} - \frac{{3y}}{{y - 3}} = 4.\end{array} \right.\]

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta nhận được phương trình:

\[\frac{{17x}}{{x + 1}} = 85\]

\[\frac{x}{{x + 1}} = 5\]

\[5\left( {x + 1} \right) = x\]

\[5x + 5 = x\]

\[4x = - 5\]

\[x = \frac{{ - 5}}{4}\] (thỏa mãn).

Thế \[\frac{x}{{x + 1}} = 5\] vào phương trình \[\frac{{5x}}{{x + 1}} + \frac{y}{{y - 3}} = 27\], ta được:

\[5 \cdot 5 + \frac{y}{{y - 3}} = 27\]

\[\frac{y}{{y - 3}} = 2\]

\[2\left( {y - 3} \right) = y\]

\[2y - 6 = y\]

\[y = 6\] (thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{ - 5}}{4};6} \right).\]

Chú ý: Ta cũng có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình trên.

a) Vì đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;\,\, - 1} \right)\) và \(B\left( {4;\,\,5} \right)\) nên thay lần lượt từng cặp giá trị \(x,\,\,y\) vào hàm số, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} - 1 = a \cdot 1 + b\\5 = a \cdot 4 + b\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = - 1\\4a + b = 5.\end{array} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ, ta được:

\(3a = 6,\) suy ra \(a = 2.\)

Thay \(a = 2\) vào phương trình \(a + b = - 1,\) ta được:

\(2 + b = - 1,\) suy ra \(b = - 3.\)

Vậy hàm số cần tìm là \(y = 2x - 3.\)

b) Vì đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(C\left( { - 1;\,\, - 5} \right)\) và \(D\left( { - 6;\,\,1} \right)\) nên thay lần lượt từng cặp giá trị \(x,\,\,y\) vào hàm số, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} - 5 = a \cdot \left( { - 1} \right) + b\\1 = a \cdot \left( { - 6} \right) + b\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l} - a + b = - 5\\ - 6a + b = 1.\end{array} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ nhất của hệ, ta được:

\(5a = - 6,\) suy ra \(a = - \frac{6}{5}.\)

Thay \(a = - \frac{6}{5}\) vào phương trình \( - a + b = - 5,\) ta được:

\( - \left( { - \frac{6}{5}} \right) + b = - 5,\) suy ra \(b = - \frac{{31}}{5}.\)

Vậy hàm số cần tìm là \(y = - \frac{6}{5}x - \frac{{31}}{5}.\)

a) \(x{\rm{Ag}} + y{\rm{C}}{{\rm{l}}_2} \to 2{\rm{AgCl}}{\rm{.}}\)

Vì số nguyên tử của \[{\rm{Ag}}\] và \({\rm{Cl}}\) ở cả hai vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\2y = 2\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1.\end{array} \right.\)

Vậy \(x = 2,\,\,y = 1.\)

b) \[{\rm{xHgO}} \to 2{\rm{Hg}} + y{{\rm{O}}_2}.\]

Vì số nguyên tử của \[{\rm{Hg}}\] và \[{\rm{O}}\] ở cả hai vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x = 2y\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1.\end{array} \right.\)

Vậy \(x = 2,\,\,y = 1.\)