Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(A = \sin 23^\circ - \cos 67^\circ .\)

b) \(B = \tan 18^\circ - \cot 72^\circ .\)

c) \(C = \frac{{\sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ }}{{2\cot 45^\circ }}.\)

d) \(D = \cot 44^\circ \cdot \cot 45^\circ \cdot \cot 46^\circ .\)

e) \(E = \sin 10^\circ + \sin 40^\circ - \cos 50^\circ - \cos 80^\circ \).

f) \(F = 12 \cdot \tan 32^\circ \cdot \tan 58^\circ - \frac{{8 \cdot \cot 35^\circ }}{{\tan 55^\circ }}.\)

Gọi \(x\) (km/h) là vận tốc dự định của ôtô và \(y\) (giờ) là thời gian dự định của ôtô để đi hết quãng đường AB \(\left( {x > 10,\,\,y > 0} \right).\)

– Quãng đường AB là \(xy\) (km).

– Nếu ôtô chạy nhanh hơn 10 km/h mỗi giờ thì đến nơi sớm hơn so với dự định là 3 giờ. Khi đó, ta có:

⦁ Vận tốc của ôtô lúc này là: \(x + 10\) (km/h).

⦁ Thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là: \(y - 3\) (giờ).

⦁ Quãng đường AB là: \(\left( {x + 10} \right)\left( {y - 3} \right)\) (giờ).

Ta có phương trình: \(\left( {x + 10} \right)\left( {y - 3} \right) = xy\)

 \(xy - 3x + 10y - 30 = xy\)

 \( - 3x + 10y = 30\) (1)

– Nếu ôtô chạy chậm hơn 10 km/h mỗi giờ thì đến nơi muộn hơn so với dự định là 5 giờ. Khi đó, ta có:

⦁ Vận tốc của ôtô lúc này là: \(x - 10\) (km/h).

⦁ Thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là: \(y + 5\) (giờ).

⦁ Quãng đường AB là: \(\left( {x + 10} \right)\left( {x - 2} \right)\) (giờ).

Ta có phương trình: \[\left( {x - 10} \right)\left( {y + 5} \right) = xy\]

\(xy + 5x - 10y - 50 = xy\)

\(5x - 10y = 50\) (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 10y = 30\\5x - 10y = 50\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: \(2x = 80,\) suy ra \[x = 40\] (thỏa mãn).

Thay \[x = 40\] vào phương trình (1), ta được \( - 3 \cdot 40 + 10y = 30\) hay \(10y = 150,\) suy ra \(y = 15\) (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của ôtô là 40 (km/h) và thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là 15 (giờ).

Gọi \(x,\,\,y\) (sản phẩm) lần lượt là số sản phẩm của tổ I và tổ II theo kế hoạch cần sản xuất \(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right)\).

Theo bài, theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm nên ta có phương trình: \(x + y = 600\) (1)

Khi tổ I vượt kế hoạch 18% thì số sản phẩm tổ I sản xuất được là: \(x + 18\% x = 1,18x\) (sản phẩm).

Khi tổ II vượt kế hoạch 21% thì số sản phẩm tổ II sản xuất được là: \(y + 21\% y = 1,21y\) (sản phẩm).

Theo bài, cả hai tổ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm nên ta có phương trình: \(1,18x + 1,21y = 600 + 120\) hay \(118x + 121y = 72\,\,000\)   (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 600\\118x + 121y = 72\,\,000\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với 118, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}118x + 118y = 70\,\,800\\118x + 121y = 72\,\,000\end{array} \right.\)

Trừ hai vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\( - 3y = - 1\,\,200\), suy ra \(y = 400\) (thỏa mãn).

Thay \(y = 400\) vào phương trình \(x + y = 600\), ta được:

\(x + 400 = 600\), suy ra \(x = 200\) (thỏa mãn).