Một chiếc thang \(AC\) được dựng vào một bức tường thẳng đứng (hình vẽ).

a) Ban đầu khoảng cách từ chân thang đến tường là \(BC = 1,3{\rm{\;m}}\) và góc tạo bởi thang và phương nằm ngang là \(\widehat {ACB} = 66^\circ \), tính độ dài của thang.

b) Nếu đầu \(A\) của thang bị trượt xuống \(40{\rm{\;cm}}\) đến vị trí \(D\) thì góc \(DEB\) tạo bởi thang và phương nằm ngang bằng bao nhiêu?

(Kết quả độ dài làm tròn đến hàng phần trăm của mét và số đo góc làm tròn đến phút)

 

 

Gọi \(x\) (km/h) là vận tốc dự định của ôtô và \(y\) (giờ) là thời gian dự định của ôtô để đi hết quãng đường AB \(\left( {x > 10,\,\,y > 0} \right).\)

– Quãng đường AB là \(xy\) (km).

– Nếu ôtô chạy nhanh hơn 10 km/h mỗi giờ thì đến nơi sớm hơn so với dự định là 3 giờ. Khi đó, ta có:

⦁ Vận tốc của ôtô lúc này là: \(x + 10\) (km/h).

⦁ Thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là: \(y - 3\) (giờ).

⦁ Quãng đường AB là: \(\left( {x + 10} \right)\left( {y - 3} \right)\) (giờ).

Ta có phương trình: \(\left( {x + 10} \right)\left( {y - 3} \right) = xy\)

 \(xy - 3x + 10y - 30 = xy\)

 \( - 3x + 10y = 30\) (1)

– Nếu ôtô chạy chậm hơn 10 km/h mỗi giờ thì đến nơi muộn hơn so với dự định là 5 giờ. Khi đó, ta có:

⦁ Vận tốc của ôtô lúc này là: \(x - 10\) (km/h).

⦁ Thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là: \(y + 5\) (giờ).

⦁ Quãng đường AB là: \(\left( {x + 10} \right)\left( {x - 2} \right)\) (giờ).

Ta có phương trình: \[\left( {x - 10} \right)\left( {y + 5} \right) = xy\]

\(xy + 5x - 10y - 50 = xy\)

\(5x - 10y = 50\) (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 10y = 30\\5x - 10y = 50\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: \(2x = 80,\) suy ra \[x = 40\] (thỏa mãn).

Thay \[x = 40\] vào phương trình (1), ta được \( - 3 \cdot 40 + 10y = 30\) hay \(10y = 150,\) suy ra \(y = 15\) (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của ôtô là 40 (km/h) và thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là 15 (giờ).

Gọi \(x,\,\,y\) (sản phẩm) lần lượt là số sản phẩm của tổ I và tổ II theo kế hoạch cần sản xuất \(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right)\).

Theo bài, theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm nên ta có phương trình: \(x + y = 600\) (1)

Khi tổ I vượt kế hoạch 18% thì số sản phẩm tổ I sản xuất được là: \(x + 18\% x = 1,18x\) (sản phẩm).

Khi tổ II vượt kế hoạch 21% thì số sản phẩm tổ II sản xuất được là: \(y + 21\% y = 1,21y\) (sản phẩm).

Theo bài, cả hai tổ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm nên ta có phương trình: \(1,18x + 1,21y = 600 + 120\) hay \(118x + 121y = 72\,\,000\)   (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 600\\118x + 121y = 72\,\,000\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với 118, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}118x + 118y = 70\,\,800\\118x + 121y = 72\,\,000\end{array} \right.\)

Trừ hai vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\( - 3y = - 1\,\,200\), suy ra \(y = 400\) (thỏa mãn).

Thay \(y = 400\) vào phương trình \(x + y = 600\), ta được:

\(x + 400 = 600\), suy ra \(x = 200\) (thỏa mãn).