Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do cải tiến về mặt kỹ thuật nên tổ I đã sản xuất vượt kế hoạch 18%, và tổ II sản xuất vượt mức kế hoạch 21%. Vì vậy trong thời gian quy định cả hai tổ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Tính số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch.

Ta có: \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\]

\[ = {a^3} + a{b^2} + a{c^2} + {a^2}b + {b^3} + b{c^2} + {a^2}c + {b^2}c + {c^3}\]

\[ = \left( {{a^3} + a{b^2}} \right) + \left( {{b^3} + b{c^2}} \right) + \left( {{c^3} + c{a^2}} \right) + {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a\].

Mà \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) với mọi số thực dương \(a,\,\,b\) nên \[{a^2} + {b^2} \ge 2ab.\]

Suy ra \[{a^3} + a{b^2} \ge 2{a^2}b.\]

Tương tự, ta có: \[{b^3} + b{c^2} \ge 2{b^2}c;\] \[{c^3} + c{a^2} \ge 2{c^2}a.\]

Suy ra \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 3\left( {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a} \right) > 0\]

\[{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a > 0\].

Mặt khác, \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca\)

Hay \({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca = {3^2} = 9\)

\(2ab + 2bc + 2ca = 9 - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

Do đó \[P = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\]

\[ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{{9 - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}\]

\[ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} - \frac{1}{2}\].

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với mọi số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) ta có:

\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} = \frac{{{3^2}}}{3} = 3.\)

Do đó \[P = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} - \frac{1}{2}\]

\[ = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} + \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} + \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{1}{2}\]

\[ \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} \cdot \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\]

\[ = 2\sqrt {\frac{9}{4}} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 4.\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(4\) khi \(a = b = c = 1.\)

Thời gian bè nứa trôi từ A đến điểm C cách A một đoạn 8 km là: \(\frac{8}{4} = 2\) (giờ).

Do ca nô xuất phát từ A cùng với bè nứa nên thời gian ca nô di chuyển cũng là 2 giờ.

Gọi vận tốc thực của ca nô là \(x\) (km/h) \(\left( {x > 4} \right)\).

Vận tốc ca nô xuôi dòng từ A đến B là: \(x + 4\) (km/h).

Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là: \(\frac{{24}}{{x + 4}}\) (giờ).

Vận tốc ca nô ngược dòng từ B đến A là: \(x - 4\) (km/h).

Thời gian ca nô ngược dòng từ B đến C cách A một đoạn 8 km là: \(\frac{{24 - 8}}{{x - 4}} = \frac{{16}}{{x - 4}}\) (giờ).

Do đó, tổng thời gian ca nô di chuyển là: \(\frac{{24}}{{x + 4}} + \frac{{16}}{{x - 4}}\) (giờ).

Ta có phương trình: \(\frac{{24}}{{x + 4}} + \frac{{16}}{{x - 4}} = 2\)

Giải phương trình:

\(\frac{{24}}{{x + 4}} + \frac{{16}}{{x - 4}} = 2\)

\(\frac{{12}}{{x + 4}} + \frac{8}{{x - 4}} = 1\)

\(\frac{{12\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}} + \frac{{8\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}}\)

\(12\left( {x - 4} \right) + 8\left( {x + 4} \right) = \left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)\)

\(12x - 48 + 8x + 32 = {x^2} - 16\)

\( - {x^2} + 20x = 0\)

\( - x\left( {x - 20} \right) = 0\)

\(x - 20 = 0\) (do \(x > 4).\)

\(x = 20\) (thỏa mãn).