Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết tổng của hai chữ số đó bằng 10. Nếu thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số thì được số tự nhiên có ba chữ số, lấy số tự nhiên có ba chữ số này chia cho số cần tìm thì được thương là 7 và dư là 12.

Gọi \(x,\,\,y\) (sản phẩm) lần lượt là số sản phẩm của tổ I và tổ II theo kế hoạch cần sản xuất \(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right)\).

Theo bài, theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm nên ta có phương trình: \(x + y = 600\) (1)

Khi tổ I vượt kế hoạch 18% thì số sản phẩm tổ I sản xuất được là: \(x + 18\% x = 1,18x\) (sản phẩm).

Khi tổ II vượt kế hoạch 21% thì số sản phẩm tổ II sản xuất được là: \(y + 21\% y = 1,21y\) (sản phẩm).

Theo bài, cả hai tổ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm nên ta có phương trình: \(1,18x + 1,21y = 600 + 120\) hay \(118x + 121y = 72\,\,000\)   (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 600\\118x + 121y = 72\,\,000\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với 118, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}118x + 118y = 70\,\,800\\118x + 121y = 72\,\,000\end{array} \right.\)

Trừ hai vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\( - 3y = - 1\,\,200\), suy ra \(y = 400\) (thỏa mãn).

Thay \(y = 400\) vào phương trình \(x + y = 600\), ta được:

\(x + 400 = 600\), suy ra \(x = 200\) (thỏa mãn).

Ta có: \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\]

\[ = {a^3} + a{b^2} + a{c^2} + {a^2}b + {b^3} + b{c^2} + {a^2}c + {b^2}c + {c^3}\]

\[ = \left( {{a^3} + a{b^2}} \right) + \left( {{b^3} + b{c^2}} \right) + \left( {{c^3} + c{a^2}} \right) + {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a\].

Mà \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) với mọi số thực dương \(a,\,\,b\) nên \[{a^2} + {b^2} \ge 2ab.\]

Suy ra \[{a^3} + a{b^2} \ge 2{a^2}b.\]

Tương tự, ta có: \[{b^3} + b{c^2} \ge 2{b^2}c;\] \[{c^3} + c{a^2} \ge 2{c^2}a.\]

Suy ra \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 3\left( {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a} \right) > 0\]

\[{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a > 0\].

Mặt khác, \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca\)

Hay \({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca = {3^2} = 9\)

\(2ab + 2bc + 2ca = 9 - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

Do đó \[P = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\]

\[ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{{9 - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}\]

\[ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} - \frac{1}{2}\].

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với mọi số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) ta có:

\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} = \frac{{{3^2}}}{3} = 3.\)

Do đó \[P = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} - \frac{1}{2}\]

\[ = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} + \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} + \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{1}{2}\]

\[ \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} \cdot \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\]

\[ = 2\sqrt {\frac{9}{4}} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 4.\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(4\) khi \(a = b = c = 1.\)