Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do cải tiến về mặt kỹ thuật nên tổ I đã sản xuất vượt kế hoạch 18%, và tổ II sản xuất vượt mức kế hoạch 21%. Vì vậy trong thời gian quy định cả hai tổ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Tính số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch.

a) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 7\\\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 8\end{array} \right.\) (Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0)\)

Đặt \(\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b\), khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}3a - b = 7\\2a + b = 8.\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:

\(5a = 15,\) suy ra \(a = 3\).

Thay \(a = 3\) vào phương trình \(2a + b = 8,\) ta được:

\(2 \cdot 3 + b = 8,\) suy ra \(b = 2\).

Với \(a = 3\) ta có \(\frac{1}{x} = 3,\) suy ra \(x = \frac{1}{3}\) (thỏa mãn điều kiện);

Với \(b = 2\) ta có \(\frac{1}{y} = 2,\) suy ra \(y = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{1}{3};\,\,\frac{1}{2}} \right)\).

b) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} - \frac{4}{y} = 2\\\frac{4}{x} - \frac{5}{y} = 3\end{array} \right.\) (Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0).\)

Đặt \(\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b\), khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}3a - 4b = 2\\4a - 5b = 3.\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với \(4\) và nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 3, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}12a - 16b = 8\\12a - 15b = 9.\end{array} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\( - b = - 1,\) suy ra \(b = 1.\)

Thay \(b = 1\) vào phương trình \(3a - 4b = 2,\) ta được:

\(3a - 4 \cdot 1 = 2,\) hay \(3a = 6,\) suy ra \(a = 2.\)

Với \(a = 2\) ta có \(\frac{1}{x} = 2,\) suy ra \(x = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn điều kiện);

Với \(b = 1\) ta có \(\frac{1}{y} = 1,\) suy ra \(y = 1\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{1}{2};\,\,1} \right)\).

c) \[\left\{ \begin{array}{l}12x + 3y = 4xy\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.\] (Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0).\)

Chia hai vế của phương trình thứ nhất của hệ đã cho cho \(xy\) (do \(xy \ne 0)\), ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{12}}{y} + \frac{3}{x} = 4\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} + \frac{{12}}{y} = 4\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.\]

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với 3, ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{x} + \frac{{36}}{y} = 12\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.\]

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\(\frac{{44}}{y} = 11,\) suy ra \(y = 4\) (thỏa mãn điều kiện).

Thay \(y = 4\) vào phương trình \[\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\], ta được:

\[\frac{9}{x} - \frac{8}{4} = 1\] hay \[\frac{9}{x} - 2 = 1,\] do đó \(\frac{9}{x} = 3\) nên \(x = 3\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {3;\,\,4} \right)\).

d) \[\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5\end{array} \right.\]

Cách 1. Đặt \(a = x + y\) và \(b = x - y\), hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 4\\a + 2b = 5.\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 2, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 4\\2a + 4b = 10.\end{array} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\( - b = - 6,\) suy ra \(b = 6.\)

Thay \(b = 6\) vào phương trình \(a + 2b = 5,\) ta được:

\(a + 2 \cdot 6 = 5,\) suy ra \(a = - 7.\)

Với \(a = - 7,\,\,b = 6\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 7\\x - y = 6.\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:

\(2x = - 1\), suy ra \(x = - \frac{1}{2}\).

Thay \(x = - \frac{1}{2}\) vào phương trình \(x - y = 6,\) ta được:

\( - \frac{1}{2} - y = 6,\) suy ra \(y = - \frac{{13}}{2}.\)

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là \(\left( {x;y} \right) = \left( { - \frac{1}{2}; - \frac{{13}}{2}} \right)\).

Cách 2. \[\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Từ phương trình (1), ta có: \[2x + 2y + 3x - 3y = 4\] hay \(5x - y = 4.\)   (3)

Từ phương trình (2), ta có: \(x + y + 2x - 2y = 5\) hay \(3x - y = 5.\)   (4)

Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 4\\3x - y = 5.\end{array} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\(2x = - 1,\) suy ra \(x = - \frac{1}{2}.\)

Thay \(x = - \frac{1}{2}\) vào phương trình \(5x - y = 4,\) ta được:

\(5 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) - y = 4,\) hay \( - \frac{5}{2} - y = 4,\) suy ra \(y = - \frac{{13}}{2}.\)

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là \(\left( {x;y} \right) = \left( { - \frac{1}{2}; - \frac{{13}}{2}} \right)\).

e) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{2x - y}} - \frac{6}{{x + y}} = - 1\\\frac{1}{{2x - y}} - \frac{1}{{x + y}} = 0\end{array} \right.\)   (Điều kiện xác định: \(y \ne 2x;\,\,y \ne - x).\)

Đặt \(\frac{1}{{2x - y}} = u;\,\,\frac{1}{{x + y}} = v\), hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}3u - 6v = - 1\\u - v = 0.\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 3, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}3u - 6v = - 1\\3u - 3v = 0.\end{array} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\( - 3v = - 1\), suy ra \[v = \frac{1}{3}\].

Thay \[v = \frac{1}{3}\] vào phương trình \(u - v = 0,\) ta được: \(u - \frac{1}{3} = 0,\) suy ra \(u = \frac{1}{3}\).

Với \(u = \frac{1}{3}\) và \[v = \frac{1}{3}\], ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{2x - y}} = \frac{1}{3}\,\,\,\,\left( 5 \right)\\\frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{3}\,\,\,\,\,\,\,\left( 6 \right)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (5) ta có: \(2x - y = 3.\,\,\,\,\left( 7 \right)\)

Từ phương trình (6) ta có: \(x + y = 3.\,\,\,\,\left( 8 \right)\)

Từ (7) và (8) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 3\\x + y = 3\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:

\(3x = 6\) hay \(x = 2\).

Thay \(x = 2\) vào phương trình \(x + y = 3,\) ta được: \(2 + y = 3\), suy ra \(y = 1\) (thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {2;1} \right)\).

f) \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{5x}}{{x + 1}} + \frac{y}{{y - 3}} = 27\\\frac{{2x}}{{x + 1}} - \frac{{3y}}{{y - 3}} = 4\end{array} \right.\] (Điều kiện xác định: \[x \ne - 1;y \ne 3).\]

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ phương trình đã cho với \[3\], ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{15x}}{{x + 1}} + \frac{{3y}}{{y - 3}} = 81\\\frac{{2x}}{{x + 1}} - \frac{{3y}}{{y - 3}} = 4.\end{array} \right.\]

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta nhận được phương trình:

\[\frac{{17x}}{{x + 1}} = 85\]

\[\frac{x}{{x + 1}} = 5\]

\[5\left( {x + 1} \right) = x\]

\[5x + 5 = x\]

\[4x = - 5\]

\[x = \frac{{ - 5}}{4}\] (thỏa mãn).

Thế \[\frac{x}{{x + 1}} = 5\] vào phương trình \[\frac{{5x}}{{x + 1}} + \frac{y}{{y - 3}} = 27\], ta được:

\[5 \cdot 5 + \frac{y}{{y - 3}} = 27\]

\[\frac{y}{{y - 3}} = 2\]

\[2\left( {y - 3} \right) = y\]

\[2y - 6 = y\]

\[y = 6\] (thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{ - 5}}{4};6} \right).\]

Chú ý: Ta cũng có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình trên.