Một nông trại nằm trên mảnh đất hình tam giác có ba cạnh tường rào tiếp giáp với ba con đường (hình bên). Hỏi phải đặt trạm quan sát ở đâu để nó cách đều ba cạnh tường rào?

(2,5 điểm) Cho \(\Delta OAB\)cân tại O, kẻ OM vuông góc với AB tại M.

(a) Chứng minh: \(\Delta OMA = \Delta OMB\) và OM là tia phân giác của \(\widehat {AOB}\).

(b) Từ M kẻ \(ME \bot OA\), (\(E \in OA,\;F \in OB\)). Chứng minh: \[AE = BF\].

(c) Trên tia đối của tia ME, lấy điểm H sao cho \(MF \bot OB\) là trung điểm HE. Chứng minh: \[BH\,{\rm{//}}\,OA.\]

(d) Tia OM cắt EF tại K, FH cắt AB tại I, EI cắt MF tại Q. Chứng minh: K, Q, H thẳng hàng.

(0,5 điểm): Tìm tất cả các số nguyên dương \(x,y,z\)thỏa mãn:

\(\frac{{2z - 4x}}{3} = \frac{{3x - 2y}}{4} = \frac{{4y - 3z}}{2}\)và \(200 < {y^2} + {z^2} < 450\).

Nếu \(\frac{3}{2} = \frac{c}{{\;d}}\) \(\left( {d \ne 0} \right)\) thì

(1,5 điểm) Thực hiện phép tính:

(a) \(2x\left( {{x^2} + 3x - 5} \right)\).

(b) \[\left( {4{x^4} + 2{x^6} + 12{x^8}} \right):\left( {2{x^2}} \right)\].

(c) \(\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right) - 2{x^2}\).

( 1,5 điểm ) Cho hai đa thức: \[A\left( x \right) = {x^4} + 3{x^2} - x - {x^4} + 4\] và \[B\left( x \right) = {x^2} + x - 3\].

(a) Thu gọn và cho biết bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của \[A\left( x \right)\].

(b) Tính \[B\left( 2 \right).\] Tính \[C\left( x \right) = A\left( x \right) + B\left( x \right)\].

(c) Tính \[D(x) = x \cdot B(x) - {x^2} + 3x - 1\]và tìm nghiệm của \[D\left( x \right).\]

Gieo một con xúc xắc đồng chất được chế tạo cân đối. Số kết quả có thể xảy ra