Cho hai biểu thức \(A = \frac{x}{{x + 5}}\) và \(B = \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} + 2x}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 2}}\) với \[x \ne 0\,;\,\,x \ne - 2\,;\,\,x \ne - 5.\]

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 3\).

2) Chứng minh \(B = \frac{{x - 2}}{x}\).

3) Đặt \(P = A \cdot B\). Tìm \(x\) nguyên nhỏ nhất để \(P\) có giá trị là số nguyên.

1) Đồ thị của hàm số \(y = 2x - 4\) là một đường thẳng đi qua hai điểm \[\left( {0\,;\,\, - 4} \right)\] và \[\left( {2\,;\,\,0} \right).\]

Đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) khi \[{m^2} + 1 = 2\] và \[m - 3 \ne - \,4\].

Suy ra \[{m^2} = 1\] và \[m \ne - 1\]. Do đó m = 1.

Gọi \(x\,\,{\rm{(m)}}\) là độ dài cạnh vuông góc với bờ biển;

\(y\,\,{\rm{(m)}}\) là độ dài cạnh song song với bờ biển của “khu vực tắm biển an toàn” \(\left( {x,\,\,y > 0} \right).\)

Độ dài dây phao là \[300\,\,{\rm{m}}\] nên \(2x + y = 300\), suy ra \(y = 300 - 2x.\)

Vì người tắm chỉ được bơi cách bờ biển không quá \[25\,\,{\rm{m}}\] nên \(x \le 25.\)

Diện tích “khu vực tắm biển an toàn” có thể quây được là \(S = xy.\)

Suy ra \(S = x\left( {300 - 2x} \right) =  - 2{x^2} + 300x =  - 2{\left( {x - 75} \right)^2} + 11\,\,250.\)

Vì \(x \le 25\) nên \(x - 75 \le  - 50\).

Suy ra \(75 - x \ge 50 > 0\) nên \({\left( {75 - x} \right)^2} \ge 2\,\,500.\)

\( - 2{\left( {75 - x} \right)^2} \le  - 5\,\,000\)

\( - 2{\left( {75 - x} \right)^2} + 11\,\,250 \le 6\,\,250\).

Do đó \(S \le 6\,\,250\).

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 25\) (TMĐK).

Khi đó, \(y = 300 - 2x = 300 - 2 \cdot 25 = 250.\)

Vậy diện tích lớn nhất của “khu vực tắm biển an toàn” là \(6\,\,250\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) và chiều dài bờ biển của “khu vực tắm biển an toàn” là \(250\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)