Cho hai biểu thức \(A = \frac{x}{{x + 5}}\) và \(B = \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} + 2x}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 2}}\) với \[x \ne 0\,;\,\,x \ne - 2\,;\,\,x \ne - 5.\]

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 3\).

2) Chứng minh \(B = \frac{{x - 2}}{x}\).

3) Đặt \(P = A \cdot B\). Tìm \(x\) nguyên nhỏ nhất để \(P\) có giá trị là số nguyên.

1) Đồ thị của hàm số \(y = 2x - 4\) là một đường thẳng đi qua hai điểm \[\left( {0\,;\,\, - 4} \right)\] và \[\left( {2\,;\,\,0} \right).\]

Đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) khi \[{m^2} + 1 = 2\] và \[m - 3 \ne - \,4\].

Suy ra \[{m^2} = 1\] và \[m \ne - 1\]. Do đó m = 1.

1) Thể tích của nước trong phễu bằng thể tích của hình chóp tứ giác đều. Thể tích nước chứa trong phễu là: \(V = \frac{1}{3} \cdot {3^2} \cdot 4 = 12\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).

Vậy thể nước trong phễu là \(12\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}.\)

2) a) Xét \(\Delta BHA\) và \(\Delta BAC\) có

\(\widehat {AHB} = \widehat {BAC} = 90^\circ \); \(\widehat {ABH}\) chung.

Do đó  (g.g).

b) Xét \(\Delta HAB\) và \(\Delta HCA\) có

\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \); \(\widehat {ABH} = \widehat {HAC}\) (cùng phụ \(\widehat {BAH}\,).\)

Do đó  (g.g).

Suy ra \(\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}\) do đó \(A{H^2} = HB \cdot HC\).

c) Vì \(M\) là hình chiếu của \(H\) trên \(AC\) nên \(HM \bot AC\), mà \(BA \bot AC\) nên \(HM\,{\rm{//}}\,BA\) hay \(HQ\,{\rm{//}}\,BQ.\)

Suy ra \(\widehat {QHC} = \widehat {PBC}\) (hai góc đồng vị).

Xét \(\Delta QHC\) và \(\Delta PBC\) có \(\widehat {QHC} = \widehat {PBC}\) (cmt); \(\widehat {HCQ}\) chung.

Do đó  (g.g). Suy ra \(\frac{{QH}}{{PB}} = \frac{{CQ}}{{CP}}\).

Chứng minh tương tự ta có \(\frac{{QM}}{{PA}} = \frac{{CQ}}{{CP}}\). Do đó \(\frac{{QH}}{{PB}} = \frac{{QM}}{{PA}}\).

Mà \(PA = PB\) (vì \(P\) là trung điểm của \(AB\)) nên \(QM = QH\).

Xét \(\Delta IHM\) và \(\Delta IAB\) có

\(\frac{{IA}}{{IH}} = \frac{{AB}}{{HM}}\,\,\left( { = \frac{{AP}}{{HQ}}} \right)\); \(\widehat {IHM} = \widehat {IAB}\) (\(HM\,{\rm{//}}\,BA\), so le trong).

Do đó  (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {MIH} = \widehat {AIB}\), do đó \(B,\,\,I,\,\,M\) thẳng hàng.