Cho hàm số \(y = 2x - 4\) có đồ thị là đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và hàm số \(y = \left( {{m^2} + 1} \right)x + m - 3\) có đồ thị là đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) (\(m\) là tham số).

1) Vẽ đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).

2) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\).

1) Thể tích của nước trong phễu bằng thể tích của hình chóp tứ giác đều. Thể tích nước chứa trong phễu là: \(V = \frac{1}{3} \cdot {3^2} \cdot 4 = 12\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).

Vậy thể nước trong phễu là \(12\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}.\)

2) a) Xét \(\Delta BHA\) và \(\Delta BAC\) có

\(\widehat {AHB} = \widehat {BAC} = 90^\circ \); \(\widehat {ABH}\) chung.

Do đó  (g.g).

b) Xét \(\Delta HAB\) và \(\Delta HCA\) có

\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \); \(\widehat {ABH} = \widehat {HAC}\) (cùng phụ \(\widehat {BAH}\,).\)

Do đó  (g.g).

Suy ra \(\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}\) do đó \(A{H^2} = HB \cdot HC\).

c) Vì \(M\) là hình chiếu của \(H\) trên \(AC\) nên \(HM \bot AC\), mà \(BA \bot AC\) nên \(HM\,{\rm{//}}\,BA\) hay \(HQ\,{\rm{//}}\,BQ.\)

Suy ra \(\widehat {QHC} = \widehat {PBC}\) (hai góc đồng vị).

Xét \(\Delta QHC\) và \(\Delta PBC\) có \(\widehat {QHC} = \widehat {PBC}\) (cmt); \(\widehat {HCQ}\) chung.

Do đó  (g.g). Suy ra \(\frac{{QH}}{{PB}} = \frac{{CQ}}{{CP}}\).

Chứng minh tương tự ta có \(\frac{{QM}}{{PA}} = \frac{{CQ}}{{CP}}\). Do đó \(\frac{{QH}}{{PB}} = \frac{{QM}}{{PA}}\).

Mà \(PA = PB\) (vì \(P\) là trung điểm của \(AB\)) nên \(QM = QH\).

Xét \(\Delta IHM\) và \(\Delta IAB\) có

\(\frac{{IA}}{{IH}} = \frac{{AB}}{{HM}}\,\,\left( { = \frac{{AP}}{{HQ}}} \right)\); \(\widehat {IHM} = \widehat {IAB}\) (\(HM\,{\rm{//}}\,BA\), so le trong).

Do đó  (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {MIH} = \widehat {AIB}\), do đó \(B,\,\,I,\,\,M\) thẳng hàng.

1) Thay \(x = 3\) (TMĐK) vào biểu thức \(A\), ta có: \(A = \frac{3}{{3 + 5}} = \frac{3}{8}.\)

2) Với \[x \ne 0\,;\,\,x \ne  - 2\,;\,\,x \ne  - 5,\] ta có:

\(B = \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} + 2x}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 2}} = \frac{{{x^2} - 2}}{{x\left( {x + 2} \right)}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 2}}\)

\( = \frac{{{x^2} - 2 - \left( {x + 2} \right) + x}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \frac{{{x^2} - 2 - x - 2 + x}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \frac{{{x^2} - 4}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 2}}{x}\).

Với \[x \ne 0\,;\,\,x \ne  - 2\,;\,\,x \ne  - 5,\] ta có:

\[P = A \cdot B = \frac{x}{{x + 5}} \cdot \frac{{x - 2}}{x} = \frac{{x - 2}}{{x + 5}} = \frac{{x + 5 - 7}}{{x + 5}} = 1 - \frac{7}{{x + 5}}\].

Để \(P\) nguyên khi \(1 - \frac{7}{{x + 5}}\) nguyên, suy ra \(\frac{7}{{x + 5}} \in \mathbb{Z}\)

Khi đó \(x + 5 \in \)Ư\(\left( 7 \right) = \left\{ {1\,;\,\, - 1\,;\,\,7\,;\,\, - 7} \right\}\) nên \(x \in \left\{ { - 4\,;\,\, - 6\,;\,\,2\,;\,\, - 12} \right\}\).

Mà \[x \ne 0\,;\,\,x \ne  - 2\,;\,\,x \ne  - 5\] và \(x\) là số nguyên nhỏ nhất nên \(x =  - 12\).
Vậy \(x\) nguyên nhỏ nhất để \(P\) có giá trị là số nguyên thì \(x =  - 12\).