Ban quản lý một bãi tắm biển dùng \[300\,\,{\rm{m}}\] dây phao bao quanh một khu vực hình chữ nhật trên bãi biển để tạo thành “khu vực tắm biển an toàn”. Bờ biển sẽ tạo thành một cạnh của hình chữ nhật đó còn dây phao tạo thành ba cạnh của hình chữ nhật (như minh họa trên hình vẽ). Để đảm bảo an toàn người tắm biển chỉ được bơi cách bờ biển không quá \[25\,\,{\rm{m}}\,{\rm{.}}\] Tính diện tích “khu vực tắm biển an toàn” lớn nhất mà ban quản lý bãi tắm có thể quây được, khi đó chiều dài bờ biển của “khu vực tắm biển an toàn” là bao nhiêu?

1) Thể tích của nước trong phễu bằng thể tích của hình chóp tứ giác đều. Thể tích nước chứa trong phễu là: \(V = \frac{1}{3} \cdot {3^2} \cdot 4 = 12\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).

Vậy thể nước trong phễu là \(12\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}.\)

2) a) Xét \(\Delta BHA\) và \(\Delta BAC\) có

\(\widehat {AHB} = \widehat {BAC} = 90^\circ \); \(\widehat {ABH}\) chung.

Do đó  (g.g).

b) Xét \(\Delta HAB\) và \(\Delta HCA\) có

\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \); \(\widehat {ABH} = \widehat {HAC}\) (cùng phụ \(\widehat {BAH}\,).\)

Do đó  (g.g).

Suy ra \(\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}\) do đó \(A{H^2} = HB \cdot HC\).

c) Vì \(M\) là hình chiếu của \(H\) trên \(AC\) nên \(HM \bot AC\), mà \(BA \bot AC\) nên \(HM\,{\rm{//}}\,BA\) hay \(HQ\,{\rm{//}}\,BQ.\)

Suy ra \(\widehat {QHC} = \widehat {PBC}\) (hai góc đồng vị).

Xét \(\Delta QHC\) và \(\Delta PBC\) có \(\widehat {QHC} = \widehat {PBC}\) (cmt); \(\widehat {HCQ}\) chung.

Do đó  (g.g). Suy ra \(\frac{{QH}}{{PB}} = \frac{{CQ}}{{CP}}\).

Chứng minh tương tự ta có \(\frac{{QM}}{{PA}} = \frac{{CQ}}{{CP}}\). Do đó \(\frac{{QH}}{{PB}} = \frac{{QM}}{{PA}}\).

Mà \(PA = PB\) (vì \(P\) là trung điểm của \(AB\)) nên \(QM = QH\).

Xét \(\Delta IHM\) và \(\Delta IAB\) có

\(\frac{{IA}}{{IH}} = \frac{{AB}}{{HM}}\,\,\left( { = \frac{{AP}}{{HQ}}} \right)\); \(\widehat {IHM} = \widehat {IAB}\) (\(HM\,{\rm{//}}\,BA\), so le trong).

Do đó  (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {MIH} = \widehat {AIB}\), do đó \(B,\,\,I,\,\,M\) thẳng hàng.

1) Thay \(x = 3\) (TMĐK) vào biểu thức \(A\), ta có: \(A = \frac{3}{{3 + 5}} = \frac{3}{8}.\)

2) Với \[x \ne 0\,;\,\,x \ne  - 2\,;\,\,x \ne  - 5,\] ta có:

\(B = \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} + 2x}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 2}} = \frac{{{x^2} - 2}}{{x\left( {x + 2} \right)}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 2}}\)

\( = \frac{{{x^2} - 2 - \left( {x + 2} \right) + x}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \frac{{{x^2} - 2 - x - 2 + x}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \frac{{{x^2} - 4}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 2}}{x}\).

Với \[x \ne 0\,;\,\,x \ne  - 2\,;\,\,x \ne  - 5,\] ta có:

\[P = A \cdot B = \frac{x}{{x + 5}} \cdot \frac{{x - 2}}{x} = \frac{{x - 2}}{{x + 5}} = \frac{{x + 5 - 7}}{{x + 5}} = 1 - \frac{7}{{x + 5}}\].

Để \(P\) nguyên khi \(1 - \frac{7}{{x + 5}}\) nguyên, suy ra \(\frac{7}{{x + 5}} \in \mathbb{Z}\)

Khi đó \(x + 5 \in \)Ư\(\left( 7 \right) = \left\{ {1\,;\,\, - 1\,;\,\,7\,;\,\, - 7} \right\}\) nên \(x \in \left\{ { - 4\,;\,\, - 6\,;\,\,2\,;\,\, - 12} \right\}\).

Mà \[x \ne 0\,;\,\,x \ne  - 2\,;\,\,x \ne  - 5\] và \(x\) là số nguyên nhỏ nhất nên \(x =  - 12\).
Vậy \(x\) nguyên nhỏ nhất để \(P\) có giá trị là số nguyên thì \(x =  - 12\).