(2,5 điểm)

Một thang máy chở hàng trong một kho vận có tải trọng tối đa là \(1\;200\;kg\). Người nhân viên kho nặng \(75\;\)kg đang đứng trong thang máy và cần vận chuyển các thùng hàng lên tầng trên. Biết rằng mỗi thùng hàng đều có khối lượng là \(45\;\)kg. Hỏi nhân viên kho có thể mang theo tối đa bao nhiêu thùng hàng trong một chuyến thang máy để đảm bảo an toàn (tổng khối lượng không vượt quá tải trọng cho phép)?

1a)

0,5đ

Diện tích xung quanh của ly nước hình trụ là:

\({S_{xq}} = 2.\pi .r.h\)

0,25

\({S_{xq}} \approx 2.3,14.2.12 = 150,72{\rm{ }}c{m^2}\)

0,25

1b)

0,5đ

Thể tích của một viên bi thủy tinh hình cầu là:

\({V_1} = \frac{4}{3}.\pi .r_{bi}^3 = \frac{4}{3}.\pi {.1^3} = \frac{4}{3}\pi {\rm{ }}\left( {c{m^3}} \right)\)

Tổng thể tích của 6 viên bi thủy tinh là:

\({V_{6\,\,bi}} = 6.{V_1} = 6.\frac{4}{3}\pi  = 8\pi {\rm{ }}\left( {c{m^3}} \right)\)

0,25

Khi thả 6 viên bi vào, thể tích nước dâng lên trong ly bằng đúng tổng thể tích của các viên bi.

Gọi h' là chiều cao mực nước dâng thêm, ta có:

\({V_{dang\,\,len}} = \pi .r_{ly}^2.h'\)

\(8\pi  = \pi {.2^2}.h'\)

\(8\pi  = 4\pi .h'\)

\(h' = 2{\rm{ }}cm\)

Vậy mực nước trong ly dâng lên thêm 2 cm.

0,25

Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của ly hình nón. Lượng nước trong ly có chiều cao \(x\) thì bán kính mặt nước tương ứng là \({r_x} = \frac{{R.x}}{h}\).

Thể tích nước khi đó là: \({V_x} = \frac{1}{3}\pi .r_x^2.x = \frac{{\pi {R^2}}}{{3{h^2}}}.{x^3}\).

Theo giả thiết, đổ nước từ ly A vào ly B thì ly B đầy nước, ta có:

\({V_{{h_1}}} + {V_{{h_2}}} = {V_h}\)

\(\frac{{\pi {R^2}}}{{3{h^2}}}.h_1^3 + \frac{{\pi {R^2}}}{{3{h^2}}}.h_2^3 = \frac{{\pi {R^2}}}{{3{h^2}}}.{h^3}\)

\(h_1^3 + h_2^3 = {h^3}\)

Với \(h = 12\) cm, ta có: \(h_1^3 + h_2^3 = {12^3} = 1728\) \((1)\).

Sử dụng hằng đẳng thức:

\(h_1^3 + h_2^3 = {({h_1} + {h_2})^3} - 3{h_1}.{h_2}.({h_1} + {h_2})\)

Áp dụng bất đẳng thức phụ: \({h_1}.{h_2} \le \frac{{{{({h_1} + {h_2})}^2}}}{4}\), ta có:

\(h_1^3 + h_2^3 \ge {({h_1} + {h_2})^3} - 3.\frac{{{{({h_1} + {h_2})}^2}}}{4}.({h_1} + {h_2})\)

\( \Leftrightarrow h_1^3 + h_2^3 \ge {({h_1} + {h_2})^3} - \frac{3}{4}.{({h_1} + {h_2})^3}\)

\( \Leftrightarrow h_1^3 + h_2^3 \ge \frac{1}{4}.{({h_1} + {h_2})^3}\)

0,25

Thay \((1)\) vào đánh giá trên:

\(1728 \ge \frac{1}{4}.{({h_1} + {h_2})^3}\)

\( \Leftrightarrow {({h_1} + {h_2})^3} \le 6912\)

\( \Leftrightarrow {h_1} + {h_2} \le \sqrt[3]{{6912}} = 12\sqrt[3]{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \({h_1} = {h_2} = 6\sqrt[3]{4}\) cm.

Vậy \(Max\,\,S = 12\sqrt[3]{4}\) khi và chỉ khi \({h_1} = {h_2} = 6\sqrt[3]{4}\) cm.

0,25