Khối lượng của một cá thể sinh vật \(X\) theo thời gian \(t\) tuần (\(t \ge 0\)) cho bởi công thức \(f\left( t \right) = 0,1 + {t^2}{e^{ - kt}}\) (\(k \in \mathbb{R}\), đơn vị tính bằng microgam). Biết rằng sinh vật \(X\) chỉ sống được đúng 6 tuần và khối lượng của nó lớn nhất tại thời điểm \(t = 4\), đúng lúc nó sinh sản.

Đáp án: \(12\).

Theo bài ra ta có thể tích của nước trong chậu theo thời gian \(t\) là: \(V\left( t \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}t\,\;\left( l \right)\).

Khi bơm nước vào chậu thì độ cao của nước tăng dần, và mặt nước luôn là tam giác đều.

Ta tính thể tích của nước trong chậu sau khi bơm được \(t\) phút, với độ cao \(0 \le x \le h\), mặt nước là tam giác đều cạnh \(a\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\,a = 2}\\{x = 3,\,a = 5}\end{array}} \right. \Rightarrow a = x + 2\).

Diện tích của mặt nước \(S\left( x \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {x + 2} \right)^2}\).

Thể tích nước có trong chậu là: \(V\left( h \right) = \int\limits_0^h {\frac{{\sqrt 3 }}{4}{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \,{\rm{d}}x = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}h\\0\end{array}} \right. = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\left[ {{{\left( {h + 2} \right)}^3} - 8} \right]\).

Vậy \(\frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\left[ {{{\left( {h + 2} \right)}^3} - 8} \right] = \frac{{\sqrt 3 }}{3}t \Leftrightarrow {\left( {h + 2} \right)^3} = 8 + 4t \Rightarrow h = \sqrt[3]{{8 + 4t}} - 2\).

Ta có: \(h'\left( t \right) = \frac{4}{3}\sqrt[3]{{{{\left( {8 + 4t} \right)}^{ - 2}}}}\).

\( \Rightarrow h'\left( {14} \right) = \frac{1}{{12}} \Rightarrow a = 12\).

Đáp án: 4,86.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Ta có \(\widehat {SCH} = 60^\circ \), \(OC = 3\sqrt 3 \), \(HC = \sqrt {28} \), \(SH = \sqrt {84} \).

\(A\left( { - 3;0;0} \right)\), \(B\left( {3;0;0} \right),\,C\left( {0;3\sqrt 3 ;0} \right)\), \(H\left( {1;0;0} \right)\), \(S\left( {1;0;\sqrt {84} } \right)\).

Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng chứa \(SA\) và song song với \(BC\).

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {SA}  = \left( { - 4;0; - \sqrt {84} } \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( { - 3;3\sqrt 3 ;0} \right)\\\left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {18\sqrt 7 ;6\sqrt {21} ; - 12\sqrt 3 } \right)\end{array}\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\): \(18\sqrt 7 x + 6\sqrt {21} y - 12\sqrt 3 z + 54\sqrt 7  = 0\).

\(d\left( {BC,SA} \right) = d\left( {B,\left( \alpha  \right)} \right) = \frac{{\left| {18\sqrt 7  \times 3 + 54\sqrt 7 } \right|}}{{\sqrt {{{\left( {18\sqrt 7 } \right)}^2} + {{\left( {6\sqrt {21} } \right)}^2} + {{\left( { - 12\sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{108\sqrt 7 }}{{\sqrt {3456} }} = \frac{{3\sqrt {42} }}{4} \approx 4,86\).