Khối lượng của một cá thể sinh vật \(X\) theo thời gian \(t\) tuần (\(t \ge 0\)) cho bởi công thức \(f\left( t \right) = 0,1 + {t^2}{e^{ - kt}}\) (\(k \in \mathbb{R}\), đơn vị tính bằng microgam). Biết rằng sinh vật \(X\) chỉ sống được đúng 6 tuần và khối lượng của nó lớn nhất tại thời điểm \(t = 4\), đúng lúc nó sinh sản.

Đáp án: 4,86.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Ta có \(\widehat {SCH} = 60^\circ \), \(OC = 3\sqrt 3 \), \(HC = \sqrt {28} \), \(SH = \sqrt {84} \).

\(A\left( { - 3;0;0} \right)\), \(B\left( {3;0;0} \right),\,C\left( {0;3\sqrt 3 ;0} \right)\), \(H\left( {1;0;0} \right)\), \(S\left( {1;0;\sqrt {84} } \right)\).

Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng chứa \(SA\) và song song với \(BC\).

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {SA}  = \left( { - 4;0; - \sqrt {84} } \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( { - 3;3\sqrt 3 ;0} \right)\\\left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {18\sqrt 7 ;6\sqrt {21} ; - 12\sqrt 3 } \right)\end{array}\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\): \(18\sqrt 7 x + 6\sqrt {21} y - 12\sqrt 3 z + 54\sqrt 7  = 0\).

\(d\left( {BC,SA} \right) = d\left( {B,\left( \alpha  \right)} \right) = \frac{{\left| {18\sqrt 7  \times 3 + 54\sqrt 7 } \right|}}{{\sqrt {{{\left( {18\sqrt 7 } \right)}^2} + {{\left( {6\sqrt {21} } \right)}^2} + {{\left( { - 12\sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{108\sqrt 7 }}{{\sqrt {3456} }} = \frac{{3\sqrt {42} }}{4} \approx 4,86\).

Chọn a) Sai | b) Đúng| c) Đúng | d) Đúng

a) Ta có \(E\left( {6;0;3} \right)\), \(H\left( {0;0;5} \right)\) và \(G\left( {0;5;4} \right)\). \[\]

Suy ra \(\overrightarrow {EH}  = \left( { - 6;0;2} \right)\); \(\overrightarrow {EG}  = \left( { - 6;5;1} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {EFGH} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {EH} ,\overrightarrow {EG} } \right] = \left( { - 10; - 6; - 30} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {EFG} \right)\) là: \(10\left( {x - 0} \right) + 6\left( {y - 0} \right) + 30\left( {z - 5} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 10x + 6y + 30z - 150 = 0\).

Do đó: \(a + b + c = 10 + 6 + 30 = 46\).

Chọn SAI.

b) Điểm \(A \in Ox\)\( \Rightarrow A\left( {6;0;0} \right)\).

Chọn ĐÚNG.

c) Ta có \(B\left( {6;5;0} \right)\).

Phương trình đường thẳng đi qua \(B\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6}\\{y = 5}\end{array}}\\{z = t}\end{array}} \right.\).

Tọa độ điểm \(F\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6}\\{y = 5}\end{array}}\\{z = t}\end{array}}\\{10x + 6y + 30z - 150 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2}\\{x = 6}\end{array}}\\{y = 5}\end{array}}\\{z = 2}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow F\left( {6;5;2} \right)\).

Có \(\overrightarrow {EH}  = \left( { - 6;0;2} \right)\), \(\overrightarrow {EG}  = \left( { - 6;5;1} \right)\) và \(\overrightarrow {EF}  = \left( {0;5; - 1} \right)\).

Suy ra \({S_{EFGH}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {EH} ,\overrightarrow {EG} } \right]} \right| + \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {EG} ,\overrightarrow {EF} } \right]} \right|\)

                     \( = \frac{1}{2}\sqrt {{{10}^2} + {6^2} + {{30}^2}}  + \frac{1}{2}\sqrt {{{10}^2} + {6^2} + {{30}^2}}  = 2\sqrt {259} \).

Số tiền ông Sơn cần dùng để mua lưới lợp là

\(2\sqrt {259}  \times 12000 \approx 386000\)(đồng).

Chọn ĐÚNG.

d) Ta thực hiện trải hình như sau

Suy ra \(EI = \sqrt {{{\left( {3 + 1} \right)}^2} + {{\left( {6 + 5 + 6} \right)}^2}}  = \sqrt {305} \).

Chọn ĐÚNG.