Một cái chậu đựng nước có dạng hình chóp cụt đều, đáy chậu là tam giác đều cạnh bằng \(2\,{\rm{dm}}\), miệng chậu là tam giác đều cạnh bằng \(5\,{\rm{dm}}\) và chiều cao chậu nước bằng \(3\,{\rm{dm}}\). Người ta bơm nước vào chậu với lưu lượng không đổi \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\) lít/phút. Tại thời điểm 14 phút sau khi bơm tốc độ dâng lên của nước trong chậu là \(\frac{1}{a}\) dm/phút, giá trị của \(a\) bằng bao nhiêu?

Đáp án: -525.

Khi xe dừng hẳn thì \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - \frac{5}{2}t + b = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{2b}}{5}\).

Theo đề bài ta có \(v\left( 6 \right) = a \Leftrightarrow  - \frac{5}{2} \cdot 6 + b = a \Leftrightarrow a = b - 15\).

Quãng đường vật chuyển động trong \(6\) giây đầu tiên là: \({S_1} = 6a = 6b - 90\) (m).

Quãng đường vật chuyển động từ giây thứ \(6\) đến giây thứ \(\frac{{2b}}{5}\) là:

\({S_2} = \int\limits_6^{\frac{{2b}}{5}} {\left( { - \frac{5}{2}t + b} \right)dt}  = \left. {\left( { - \frac{5}{4}{t^2} + bt} \right)} \right|_6^{\frac{{2b}}{5}} = \frac{1}{5}{b^2} - 6b + 45\) (m).

Vì kể từ lúc chuyển động đến lúc dừng thì vật đi được quãng đường là \(80\) (m) nên ta có:

\(S = {S_1} + {S_2} \Leftrightarrow 80 = 6b - 90 + \frac{1}{5}{b^2} - 6b + 45 \Leftrightarrow {b^2} = 625 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 25 \Rightarrow a = 10\,\,\left( {TM} \right)\\b =  - 25 \Rightarrow a =  - 40\,\,\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \({a^2} - {b^2} =  - 525\).

Đáp án: 4,86.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Ta có \(\widehat {SCH} = 60^\circ \), \(OC = 3\sqrt 3 \), \(HC = \sqrt {28} \), \(SH = \sqrt {84} \).

\(A\left( { - 3;0;0} \right)\), \(B\left( {3;0;0} \right),\,C\left( {0;3\sqrt 3 ;0} \right)\), \(H\left( {1;0;0} \right)\), \(S\left( {1;0;\sqrt {84} } \right)\).

Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng chứa \(SA\) và song song với \(BC\).

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {SA}  = \left( { - 4;0; - \sqrt {84} } \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( { - 3;3\sqrt 3 ;0} \right)\\\left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {18\sqrt 7 ;6\sqrt {21} ; - 12\sqrt 3 } \right)\end{array}\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\): \(18\sqrt 7 x + 6\sqrt {21} y - 12\sqrt 3 z + 54\sqrt 7  = 0\).

\(d\left( {BC,SA} \right) = d\left( {B,\left( \alpha  \right)} \right) = \frac{{\left| {18\sqrt 7  \times 3 + 54\sqrt 7 } \right|}}{{\sqrt {{{\left( {18\sqrt 7 } \right)}^2} + {{\left( {6\sqrt {21} } \right)}^2} + {{\left( { - 12\sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{108\sqrt 7 }}{{\sqrt {3456} }} = \frac{{3\sqrt {42} }}{4} \approx 4,86\).