Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(6\). Hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là điểm \(H\) thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(HA = 2HB\). Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) (làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: \(12\).

Theo bài ra ta có thể tích của nước trong chậu theo thời gian \(t\) là: \(V\left( t \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}t\,\;\left( l \right)\).

Khi bơm nước vào chậu thì độ cao của nước tăng dần, và mặt nước luôn là tam giác đều.

Ta tính thể tích của nước trong chậu sau khi bơm được \(t\) phút, với độ cao \(0 \le x \le h\), mặt nước là tam giác đều cạnh \(a\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\,a = 2}\\{x = 3,\,a = 5}\end{array}} \right. \Rightarrow a = x + 2\).

Diện tích của mặt nước \(S\left( x \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {x + 2} \right)^2}\).

Thể tích nước có trong chậu là: \(V\left( h \right) = \int\limits_0^h {\frac{{\sqrt 3 }}{4}{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \,{\rm{d}}x = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}h\\0\end{array}} \right. = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\left[ {{{\left( {h + 2} \right)}^3} - 8} \right]\).

Vậy \(\frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\left[ {{{\left( {h + 2} \right)}^3} - 8} \right] = \frac{{\sqrt 3 }}{3}t \Leftrightarrow {\left( {h + 2} \right)^3} = 8 + 4t \Rightarrow h = \sqrt[3]{{8 + 4t}} - 2\).

Ta có: \(h'\left( t \right) = \frac{4}{3}\sqrt[3]{{{{\left( {8 + 4t} \right)}^{ - 2}}}}\).

\( \Rightarrow h'\left( {14} \right) = \frac{1}{{12}} \Rightarrow a = 12\).

Đáp án: -525.

Khi xe dừng hẳn thì \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - \frac{5}{2}t + b = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{2b}}{5}\).

Theo đề bài ta có \(v\left( 6 \right) = a \Leftrightarrow  - \frac{5}{2} \cdot 6 + b = a \Leftrightarrow a = b - 15\).

Quãng đường vật chuyển động trong \(6\) giây đầu tiên là: \({S_1} = 6a = 6b - 90\) (m).

Quãng đường vật chuyển động từ giây thứ \(6\) đến giây thứ \(\frac{{2b}}{5}\) là:

\({S_2} = \int\limits_6^{\frac{{2b}}{5}} {\left( { - \frac{5}{2}t + b} \right)dt}  = \left. {\left( { - \frac{5}{4}{t^2} + bt} \right)} \right|_6^{\frac{{2b}}{5}} = \frac{1}{5}{b^2} - 6b + 45\) (m).

Vì kể từ lúc chuyển động đến lúc dừng thì vật đi được quãng đường là \(80\) (m) nên ta có:

\(S = {S_1} + {S_2} \Leftrightarrow 80 = 6b - 90 + \frac{1}{5}{b^2} - 6b + 45 \Leftrightarrow {b^2} = 625 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 25 \Rightarrow a = 10\,\,\left( {TM} \right)\\b =  - 25 \Rightarrow a =  - 40\,\,\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \({a^2} - {b^2} =  - 525\).