PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Một kiến trúc sư thiết kế một hồ bơi vô cực có mặt trên của bể bơi nằm trong mặt phẳng \(Oxy\). Một cạnh của hồ bơi dài 12 m nằm trên trục\(Ox\); hai cạnh bên lần lượt nằm trên trục \(Oy\)và đường thẳng \(x = 12\); cạnh còn lại là một phần đồ thị của hàm số \(y = - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{2}{3}x + 4\). Đáy hồ bơi không phẳng mà độ sâu tại điểm \(\left( {a;b} \right)\) được tính theo công thức \(h\left( a \right) = \frac{1}{4}a + 1\). Thể tích nước tối đa mà hồ bơi có thể chứa là bao nhiêu \({{\rm{m}}^3}\)?

Đáp án: 8,2.

Số cách chọn \(5\) chữ số phân biệt từ \(1\) đến \(9\) là \(n\left( \Omega  \right) = A_9^5 = 15120\).

Trong tập hợp \(\left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\) có \(4\) số chẵn và \(5\) số lẻ.

Ta xét các trường hợp mật khẩu thỏa mãn với dãy các số tăng dần:

+ Chọn \(4\) số chẵn và \(1\) số lẻ bất kỳ có \(C_4^4C_5^1 = 5\) cách.

+ Chọn \(3\) số chẵn và \(2\) số lẻ đặt vào “vách ngăn” giữa các số chẵn, nhưng luôn có một “vách ngăn” đặt được \(2\) số lẻ liên tiếp nên có \(C_4^3\left( {C_5^2 - 1} \right) = 36\) cách.

+ Chọn \(2\) số chẵn và \(3\) số lẻ:

Ÿ Với các cặp \(\left\{ {2;4} \right\}\), \(\left\{ {2;8} \right\}\) và \(\left\{ {6;8} \right\}\): Có.\(1 \times 1 \times 3 = 3\). cách mỗi cặp.

Ÿ Với các cặp \(\left\{ {2;6} \right\}\), \(\left\{ {4;6} \right\}\) và \(\left\{ {4;8} \right\}\): Có \(1 \times 2 \times 2 = 4\) cách mỗi cặp.

Ÿ Vậy có tất cả \(3 \times 3 + 3 \times 4 = 21\) cách.

Số các mật khẩu thỏa mãn là \(n\left( A \right) = \left( {5 + 36 + 21} \right) \times 2 = 124\) cách.

Vậy \(a \times {10^{ - 3}} = \frac{{124}}{{15120}} = \frac{{31}}{{3780}} \Rightarrow a = \frac{{1550}}{{189}} \approx 8,2\).

Quy ước \(1\) đơn vị độ dài trên hệ trục tọa độ tương ứng với \(100m\) thực tế.

Dựa vào giả thiết hệ trục \(Oxyz\), ta có:

Điểm \(A\) cao \(100\,{\rm{m}}\), cách vị trí ban đầu \(200\,\,{\rm{m}}\)về phía Đông và \(100\,\,{\rm{m}}\) về phía Nam \( \Rightarrow A\left( {2;1;1} \right)\)

Điểm \(B\) cao \(300\,\,{\rm{m}}\), cách vị trí ban đầu \(140\,\,{\rm{m}}\)về phía Tây  và \(200\,\,{\rm{m}}\)về phía Nam \( \Rightarrow B\left( { - 1,4;2;3} \right)\) hay \(B\left( { - \frac{7}{5};2;3} \right)\).

Điểm \(P\) nằm trên mặt đất \( \Rightarrow P\left( {a;b;0} \right)\).

Drone di chuyển từ \(P\) theo hướng Tây 40m đến \(Q\), tức là di chuyển ngược chiều trục \(Ox\). Ta có vectơ độ dời \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 0,4;0;0} \right) = \left( { - \frac{2}{5};0;0} \right)\).

Tổng quãng đường bay là \(d = AP + QB\).

Gọi \(A'\) là ảnh của điểm \(A\) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {PQ} \).

Ta có \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {PQ}  = \left( { - \frac{2}{5};0;0} \right) \Rightarrow A'\left( {2 - \frac{2}{5};1;1} \right)\) hay \(A'\left( {\frac{8}{5};1;1} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {PQ} \) nên tứ giác \(AA'QP\) là hình bình hành, suy ra \(AP = A'Q\).

Khi đó, tổng quãng đường bay trở thành: \(d = A'Q + QB\).

Ta cần tìm vị trí điểm \(Q \in \left( {Oxy} \right)\) sao cho \(A'Q + QB\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Nhận thấy cao độ của \(A'\) và \(B\) là \({z_{A'}} = 1 > 0\) và \({z_B} = 3 > 0\), nên \(A'\) và \(B\) nằm cùng một phía đối với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Gọi \(A''\) là điểm đối xứng của \(A'\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

\( \Rightarrow A''\left( {\frac{8}{5};1; - 1} \right)\).

Với mọi điểm \(Q \in \left( {Oxy} \right)\), ta luôn có \(A'Q = A''Q\).

Do đó: \(d = A'Q + QB = A''Q + QB \ge A''B\).

Dấu “=” xảy ra  khi và chỉ khi 3 điểm \(A'',Q,B\) thẳng hàng, hay điểm \(Q\) là giao điểm của đường thẳng \(A''B\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng \(A''B\) là \[\overrightarrow {A''B}  = \left( { - \frac{7}{5} - \frac{8}{5};2 - 1;3 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 3;1;4} \right)\].

Phương trình tham số của đường thẳng \(A''B\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{8}{5} - 3t}\\{y = 1 + t}\\{z =  - 1 + 4t}\end{array}} \right.\).

Vì \(Q \in \left( {Oxy} \right)\) nên \({z_Q} = 0 \Leftrightarrow  - 1 + 4t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{4}\).

Thay \(t = \frac{1}{4}\) vào phương trình tham số, ta tìm được tọa độ điểm \(Q\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_Q} = \frac{8}{5} - 3\left( {\frac{1}{4}} \right) = \frac{{17}}{{20}}}\\{{y_Q} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}}\\{{z_Q} = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow Q\left( {\frac{{17}}{{20}};\frac{5}{4};0} \right)\).

Do \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - \frac{2}{5};0;0} \right) \Rightarrow P\left( {\frac{{17}}{{20}} + \frac{2}{5};\frac{5}{4};0} \right)\) hay \(P\left( {\frac{5}{4};\frac{5}{4};0} \right)\).

Suy ra \(a = \frac{5}{4} = 1,25\), \(b = \frac{5}{4} = 1,25\) và \(c = 0\).

Giá trị của biểu thức là: \(S = 2a + 4b + c = 2.1,25 + 4.1,25 + 0 = 7,5\).