PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Một kiến trúc sư thiết kế một hồ bơi vô cực có mặt trên của bể bơi nằm trong mặt phẳng \(Oxy\). Một cạnh của hồ bơi dài 12 m nằm trên trục\(Ox\); hai cạnh bên lần lượt nằm trên trục \(Oy\)và đường thẳng \(x = 12\); cạnh còn lại là một phần đồ thị của hàm số \(y = - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{2}{3}x + 4\). Đáy hồ bơi không phẳng mà độ sâu tại điểm \(\left( {a;b} \right)\) được tính theo công thức \(h\left( a \right) = \frac{1}{4}a + 1\). Thể tích nước tối đa mà hồ bơi có thể chứa là bao nhiêu \({{\rm{m}}^3}\)?

Đáp án: \[ - 0,4\].

Gọi \[O\] là trung điểm của \[AB\], do tam giác \[SAB\]cân tại S nên \[SO \bot AB\] mà \[\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\]. Suy ra \[SO \bot \left( {ABCD} \right)\]. Chọn hệ trục toạ độ \[{\rm{Ox}}yz\] như hình vẽ

Diện tích tam giác \[SAB\] là \[\frac{1}{2}.SO.AB = 6 \Leftrightarrow SO = 3\].

Khi đó \[S\left( {0;0;3} \right),O\left( {0;0;0} \right),A\left( { - 2;0;0} \right),C\left( {2;4;0} \right),D\left( { - 2;4;0} \right)\].

Phương trình tham số đường thẳng \(AC\)là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\). Gọi \(J\)là hình chiếu của \(S\)lên \(AC\).

Có \(J\left( {t - 2;t;0} \right)\) mà \(\overrightarrow {SJ} .\overrightarrow {AC}  = 0 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow \overrightarrow {JS} \left( {1; - 1;3} \right)\).

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(D\)lên \(AC\)tương tự suy ra \(\overrightarrow {KD} \left( { - 2;2;0} \right)\).

\[{\rm{cos}}\left[ {S;AC;D} \right] = {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {JS} ,\overrightarrow {KD} } \right) \approx  - 0,4\].

Đáp án: \(400\).

Gọi \(x\) là số tiền chi cho quảng cáo trên Facebook.

Gọi \(y\) là số tiền chi cho quảng cáo trên Google.

Điều kiện: \(x,y > 0\).

Từ các điều kiện của đề bài, ta có hệ bất phương trình: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \le 80\quad ({d_1})}\\{x \ge 20\quad ({d_2})}\\{x \le 50\quad ({d_3})}\\{y \ge 15\quad ({d_4})}\\{y \le x\quad ({d_5})}\end{array}} \right.\]

Miền nghiệm của hệ là đa giác  \(ABCDE\) với tọa độ các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng tương ứng:

Ÿ A là giao của \(x = 20\) và \(y = 15 \Rightarrow A(20;15)\).

Ÿ B là giao của \(y = x\) và \(x = 20 \Rightarrow B(20;20)\).

Ÿ C là giao của \(y = x\) và \(x + y = 80 \Rightarrow 2x = 80 \Rightarrow C(40;40)\).

Ÿ D là giao của \(x = 50\) và \(x + y = 80 \Rightarrow D(50;30)\).

Ÿ E là giao của \(x = 50\) và \[y = 15 \Rightarrow E(50;15)\].

Gọi \[F(x;y)\] là tổng lượng khách hàng tiếp cận: \[F(x;y) = 4x + 6y\]

Ÿ Tại \[A(20;15):F = 4(20) + 6(15) = 80 + 90 = 170\].

Ÿ Tại \(B(20;20):F = 4(20) + 6(20) = 80 + 120 = 200\).

Ÿ Tại \[C(40;40):F = 4(40) + 6(40) = 160 + 240 = 400\].

Ÿ Tại \[D(50;30):F = 4(50) + 6(30) = 200 + 180 = 380\].

Ÿ Tại \[E(50;15):F = 4(50) + 6(15) = 200 + 90 = 290\].

Giá trị lớn nhất \[{F_{max}} = 400\].

Vậy lượng khách hàng tiếp cận lớn nhất là 400 nghìn khách khi doanh nghiệp chi 40 triệu cho Facebook và 40 triệu cho Google.