Một doanh nghiệp phân bổ ngân sách quảng cáo trên Facebook và Google với tổng số tiền không vượt quá \(80\) triệu đồng. Chi phí cho Facebook nằm trong khoảng từ \(20\) đến \(50\) triệu đồng. Chi phí cho Google tối thiểu là \(15\) triệu đồng. Số tiền chi cho quảng cáo trên Google không được vượt quá chi phí chi cho quảng cáo trên Facebook. Biết rằng số khách hàng tiếp cận là \(4\)nghìn khách cho mỗi triệu đồng chi quảng cáo trên Facebook và \(6\) nghìn khách cho mỗi triệu đồng trên Google. Hỏi lượng khách hàng tiếp cận lớn nhất là bao nhiêu nghìn?

Đáp án: \[ - 0,4\].

Gọi \[O\] là trung điểm của \[AB\], do tam giác \[SAB\]cân tại S nên \[SO \bot AB\] mà \[\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\]. Suy ra \[SO \bot \left( {ABCD} \right)\]. Chọn hệ trục toạ độ \[{\rm{Ox}}yz\] như hình vẽ

Diện tích tam giác \[SAB\] là \[\frac{1}{2}.SO.AB = 6 \Leftrightarrow SO = 3\].

Khi đó \[S\left( {0;0;3} \right),O\left( {0;0;0} \right),A\left( { - 2;0;0} \right),C\left( {2;4;0} \right),D\left( { - 2;4;0} \right)\].

Phương trình tham số đường thẳng \(AC\)là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\). Gọi \(J\)là hình chiếu của \(S\)lên \(AC\).

Có \(J\left( {t - 2;t;0} \right)\) mà \(\overrightarrow {SJ} .\overrightarrow {AC}  = 0 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow \overrightarrow {JS} \left( {1; - 1;3} \right)\).

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(D\)lên \(AC\)tương tự suy ra \(\overrightarrow {KD} \left( { - 2;2;0} \right)\).

\[{\rm{cos}}\left[ {S;AC;D} \right] = {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {JS} ,\overrightarrow {KD} } \right) \approx  - 0,4\].

Đáp án: 160.

Gọi mặt hồ bơi là một miền phẳng \(D\) trên hệ trục tọa độ\(Oxy\). Theo dữ kiện đề bài, miền \(D\) được giới hạn bởi các đường:

● Trục\(Ox\): \(y = 0\)

● Trục\(Oy\): \(x = 0\)

● Đường thẳng: \(x = 12\)

● Đường cong: \(y =  - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{2}{3}x + 4\)

Do đó, với một vị trí có hoành độ \(x \in \left[ {0,12} \right]\), chiều rộng của hồ bơi chính là tung độ của đường cong \(y = f\left( x \right) =  - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{2}{3}x + 4\).

Tại vị trí có hoành độ \(x\), độ sâu của hồ bơi chỉ phụ thuộc vào hoành độ và được cho bởi công thức: \(h\left( x \right) = \frac{1}{4}x + 1\).

Khi cắt hồ bơi bởi một mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\), ta được thiết diện là một hình chữ nhật có chiều rộng là \(f\left( x \right)\) và chiều dài  là \(h\left( x \right)\). Diện tích thiết diện này là: \(S\left( x \right) = f\left( x \right) \cdot h\left( x \right)\)

Do đó ta có

\(S\left( x \right) = \left( { - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{2}{3}x + 4} \right)\left( {\frac{1}{4}x + 1} \right)\)\( =  - \frac{1}{{72}}{x^3} - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{1}{6}{x^2} + \frac{2}{3}x + x + 4\)

\( =  - \frac{1}{{72}}{x^3} + \left( {\frac{1}{6} - \frac{1}{{18}}} \right){x^2} + \left( {\frac{2}{3} + 1} \right)x + 4\)

\( =  - \frac{1}{{72}}{x^3} + \frac{1}{9}{x^2} + \frac{5}{3}x + 4\)

Thể tích khối nước trong hồ chính là tích phân của diện tích thiết diện \(S\left( x \right)\) trên đoạn từ \(x = 0\) đến \(x = 12\):

\(V = \int_0^{12} S \left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = \int_0^{12} {\left( { - \frac{1}{{72}}{x^3} + \frac{1}{9}{x^2} + \frac{5}{3}x + 4} \right)} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 160\).

Kết luận: Thể tích nước tối đa mà hồ bơi có thể chứa là \(160\,\,{{\rm{m}}^3}\).