Một nhân viên cứu hộ đứng ở mặt đất, điều khiển một drone chở vật tư y tế, dự kiến bay thẳng từ đỉnh \(A\) của tháp thứ nhất đến đỉnh \(B\) của tháp thứ hai. Tuy nhiên, do gặp một khu vực nhiễu sóng an ninh, nên drone phải bay thẳng từ \(A\) đến một điểm \(P\) trên mặt đất để hạ cánh. Nhân viên đó mang drone từ điểm \(P\) dọc theo hướng Tây \(40m\) đến điểm \(Q\) và sau đó drone bay thẳng từ \(Q\) lên đỉnh \(B\) của tháp thứ hai. Biết đỉnh \(A\) cao \(100m\) và có hình chiếu lên mặt đất cách vị trí người đứng ban đầu \(200m\) về phía Đông và \(100m\) về phía Nam. Đỉnh \(B\) cao \(300m\) và có hình chiếu lên mặt đất cách vị trí người đứng ban đầu \(140m\) về phía Tây và \(200m\) về phía Nam.
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) có gốc tại vị trí người đứng ban đầu, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là mặt đất, trục \(Ox\) hướng Đông, trục \(Oy\) hướng Nam và trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trên. Để hoàn thành nhiệm vụ, người đó chọn vị trí điểm \(P\left( {a;b;c} \right)\) trên mặt đất sao cho tổng quãng đường bay là ngắn nhất. Tính giá trị của biểu thức \(S = 2a + 4b + c\).

Đáp án: \(400\).

Gọi \(x\) là số tiền chi cho quảng cáo trên Facebook.

Gọi \(y\) là số tiền chi cho quảng cáo trên Google.

Điều kiện: \(x,y > 0\).

Từ các điều kiện của đề bài, ta có hệ bất phương trình: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \le 80\quad ({d_1})}\\{x \ge 20\quad ({d_2})}\\{x \le 50\quad ({d_3})}\\{y \ge 15\quad ({d_4})}\\{y \le x\quad ({d_5})}\end{array}} \right.\]

Miền nghiệm của hệ là đa giác  \(ABCDE\) với tọa độ các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng tương ứng:

Ÿ A là giao của \(x = 20\) và \(y = 15 \Rightarrow A(20;15)\).

Ÿ B là giao của \(y = x\) và \(x = 20 \Rightarrow B(20;20)\).

Ÿ C là giao của \(y = x\) và \(x + y = 80 \Rightarrow 2x = 80 \Rightarrow C(40;40)\).

Ÿ D là giao của \(x = 50\) và \(x + y = 80 \Rightarrow D(50;30)\).

Ÿ E là giao của \(x = 50\) và \[y = 15 \Rightarrow E(50;15)\].

Gọi \[F(x;y)\] là tổng lượng khách hàng tiếp cận: \[F(x;y) = 4x + 6y\]

Ÿ Tại \[A(20;15):F = 4(20) + 6(15) = 80 + 90 = 170\].

Ÿ Tại \(B(20;20):F = 4(20) + 6(20) = 80 + 120 = 200\).

Ÿ Tại \[C(40;40):F = 4(40) + 6(40) = 160 + 240 = 400\].

Ÿ Tại \[D(50;30):F = 4(50) + 6(30) = 200 + 180 = 380\].

Ÿ Tại \[E(50;15):F = 4(50) + 6(15) = 200 + 90 = 290\].

Giá trị lớn nhất \[{F_{max}} = 400\].

Vậy lượng khách hàng tiếp cận lớn nhất là 400 nghìn khách khi doanh nghiệp chi 40 triệu cho Facebook và 40 triệu cho Google.

a) Khoảng cách từ \(S\) đến \(\left( P \right)\) bằng \(\frac{{\left| {2.1 + 2.1 + 6 - 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{3}\). Vậy a) Đúng.

b) Phương trình tia laser là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 - 2t\\z = 6 - 2t\end{array} \right.\,,t \in \mathbb{R}.\). Giao điểm của tia laser và mặt phẳng \(\left( P \right)\) thỏa mãn \(\left( P \right):2\left( {1 + t} \right) + 2\left( {1 - 2t} \right) + \left( {6 - 2t} \right) - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1\), ứng với \(M\left( {2; - 1;4} \right)\). Vậy b) Sai.

c) Vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n \left( {2;2;1} \right)\), vectơ chỉ phương của Delta là \(\overrightarrow u \left( {1; - 2; - 2} \right)\), nên góc giữa Delta và \(\left( P \right)\) thỏa mãn \[\sin \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {n.} \overrightarrow u } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 2.\left( { - 2} \right) + 1.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{4}{9}\].

Vậy c) Đúng.

d) Gọi \(d\) là đường thẳng nằm trong \(\left( P \right)\) và song song với mặt đất, khi đó dòng nước chảy có phương vuông góc với \(d\). Gọi \(\overrightarrow k \left( {0;0;1} \right)\) là vectơ chỉ phương của trục \(Oz\), khi đó theo tính chất của tích vô hướng, ta có \[\overrightarrow {{u_d}}  = \left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow n } \right]\] và \(\overrightarrow v  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow n } \right]\).

\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow k \left( {0;0;1} \right)\\\overrightarrow n \left( {2;2;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow n } \right] = \left( { - 2;2;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 1;1;0} \right)\] suy ra \(\overrightarrow v  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow n } \right] = \left( {1;1; - 4} \right)\). Vậy d) Sai.

Cách khác: ý d sai vì \(\overrightarrow v \left( {1;1;3} \right)\) và \(\overrightarrow n \left( {2;2;1} \right)\)không vuông góc.