Một khóa mã số sử dụng mật khẩu là một dãy gồm \(5\) chữ số phân biệt từ \(1\) đến \(9\). Một mật khẩu được gọi là mạnh nếu nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

i) Không có hai chữ số lẻ nào đứng cạnh nhau.

ii) Chữ số đứng sau luôn lớn hơn chữ số đứng trước hoặc luôn nhỏ hơn chữ số đứng trước.

Chọn ngẫu nhiên một mật khẩu. Xác suất để chọn được mật khẩu mạnh bằng \(a \times {10^{ - 3}}\). Tính giá trị của \(a\).

Quy ước \(1\) đơn vị độ dài trên hệ trục tọa độ tương ứng với \(100m\) thực tế.

Dựa vào giả thiết hệ trục \(Oxyz\), ta có:

Điểm \(A\) cao \(100\,{\rm{m}}\), cách vị trí ban đầu \(200\,\,{\rm{m}}\)về phía Đông và \(100\,\,{\rm{m}}\) về phía Nam \( \Rightarrow A\left( {2;1;1} \right)\)

Điểm \(B\) cao \(300\,\,{\rm{m}}\), cách vị trí ban đầu \(140\,\,{\rm{m}}\)về phía Tây  và \(200\,\,{\rm{m}}\)về phía Nam \( \Rightarrow B\left( { - 1,4;2;3} \right)\) hay \(B\left( { - \frac{7}{5};2;3} \right)\).

Điểm \(P\) nằm trên mặt đất \( \Rightarrow P\left( {a;b;0} \right)\).

Drone di chuyển từ \(P\) theo hướng Tây 40m đến \(Q\), tức là di chuyển ngược chiều trục \(Ox\). Ta có vectơ độ dời \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 0,4;0;0} \right) = \left( { - \frac{2}{5};0;0} \right)\).

Tổng quãng đường bay là \(d = AP + QB\).

Gọi \(A'\) là ảnh của điểm \(A\) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {PQ} \).

Ta có \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {PQ}  = \left( { - \frac{2}{5};0;0} \right) \Rightarrow A'\left( {2 - \frac{2}{5};1;1} \right)\) hay \(A'\left( {\frac{8}{5};1;1} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {PQ} \) nên tứ giác \(AA'QP\) là hình bình hành, suy ra \(AP = A'Q\).

Khi đó, tổng quãng đường bay trở thành: \(d = A'Q + QB\).

Ta cần tìm vị trí điểm \(Q \in \left( {Oxy} \right)\) sao cho \(A'Q + QB\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Nhận thấy cao độ của \(A'\) và \(B\) là \({z_{A'}} = 1 > 0\) và \({z_B} = 3 > 0\), nên \(A'\) và \(B\) nằm cùng một phía đối với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Gọi \(A''\) là điểm đối xứng của \(A'\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

\( \Rightarrow A''\left( {\frac{8}{5};1; - 1} \right)\).

Với mọi điểm \(Q \in \left( {Oxy} \right)\), ta luôn có \(A'Q = A''Q\).

Do đó: \(d = A'Q + QB = A''Q + QB \ge A''B\).

Dấu “=” xảy ra  khi và chỉ khi 3 điểm \(A'',Q,B\) thẳng hàng, hay điểm \(Q\) là giao điểm của đường thẳng \(A''B\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng \(A''B\) là \[\overrightarrow {A''B}  = \left( { - \frac{7}{5} - \frac{8}{5};2 - 1;3 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 3;1;4} \right)\].

Phương trình tham số của đường thẳng \(A''B\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{8}{5} - 3t}\\{y = 1 + t}\\{z =  - 1 + 4t}\end{array}} \right.\).

Vì \(Q \in \left( {Oxy} \right)\) nên \({z_Q} = 0 \Leftrightarrow  - 1 + 4t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{4}\).

Thay \(t = \frac{1}{4}\) vào phương trình tham số, ta tìm được tọa độ điểm \(Q\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_Q} = \frac{8}{5} - 3\left( {\frac{1}{4}} \right) = \frac{{17}}{{20}}}\\{{y_Q} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}}\\{{z_Q} = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow Q\left( {\frac{{17}}{{20}};\frac{5}{4};0} \right)\).

Do \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - \frac{2}{5};0;0} \right) \Rightarrow P\left( {\frac{{17}}{{20}} + \frac{2}{5};\frac{5}{4};0} \right)\) hay \(P\left( {\frac{5}{4};\frac{5}{4};0} \right)\).

Suy ra \(a = \frac{5}{4} = 1,25\), \(b = \frac{5}{4} = 1,25\) và \(c = 0\).

Giá trị của biểu thức là: \(S = 2a + 4b + c = 2.1,25 + 4.1,25 + 0 = 7,5\).

Đáp án: \[ - 0,4\].

Gọi \[O\] là trung điểm của \[AB\], do tam giác \[SAB\]cân tại S nên \[SO \bot AB\] mà \[\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\]. Suy ra \[SO \bot \left( {ABCD} \right)\]. Chọn hệ trục toạ độ \[{\rm{Ox}}yz\] như hình vẽ

Diện tích tam giác \[SAB\] là \[\frac{1}{2}.SO.AB = 6 \Leftrightarrow SO = 3\].

Khi đó \[S\left( {0;0;3} \right),O\left( {0;0;0} \right),A\left( { - 2;0;0} \right),C\left( {2;4;0} \right),D\left( { - 2;4;0} \right)\].

Phương trình tham số đường thẳng \(AC\)là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\). Gọi \(J\)là hình chiếu của \(S\)lên \(AC\).

Có \(J\left( {t - 2;t;0} \right)\) mà \(\overrightarrow {SJ} .\overrightarrow {AC}  = 0 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow \overrightarrow {JS} \left( {1; - 1;3} \right)\).

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(D\)lên \(AC\)tương tự suy ra \(\overrightarrow {KD} \left( { - 2;2;0} \right)\).

\[{\rm{cos}}\left[ {S;AC;D} \right] = {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {JS} ,\overrightarrow {KD} } \right) \approx  - 0,4\].