Một khóa mã số sử dụng mật khẩu là một dãy gồm \(5\) chữ số phân biệt từ \(1\) đến \(9\). Một mật khẩu được gọi là mạnh nếu nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

i) Không có hai chữ số lẻ nào đứng cạnh nhau.

ii) Chữ số đứng sau luôn lớn hơn chữ số đứng trước hoặc luôn nhỏ hơn chữ số đứng trước.

Chọn ngẫu nhiên một mật khẩu. Xác suất để chọn được mật khẩu mạnh bằng \(a \times {10^{ - 3}}\). Tính giá trị của \(a\).

Đáp án: \(400\).

Gọi \(x\) là số tiền chi cho quảng cáo trên Facebook.

Gọi \(y\) là số tiền chi cho quảng cáo trên Google.

Điều kiện: \(x,y > 0\).

Từ các điều kiện của đề bài, ta có hệ bất phương trình: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \le 80\quad ({d_1})}\\{x \ge 20\quad ({d_2})}\\{x \le 50\quad ({d_3})}\\{y \ge 15\quad ({d_4})}\\{y \le x\quad ({d_5})}\end{array}} \right.\]

Miền nghiệm của hệ là đa giác  \(ABCDE\) với tọa độ các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng tương ứng:

Ÿ A là giao của \(x = 20\) và \(y = 15 \Rightarrow A(20;15)\).

Ÿ B là giao của \(y = x\) và \(x = 20 \Rightarrow B(20;20)\).

Ÿ C là giao của \(y = x\) và \(x + y = 80 \Rightarrow 2x = 80 \Rightarrow C(40;40)\).

Ÿ D là giao của \(x = 50\) và \(x + y = 80 \Rightarrow D(50;30)\).

Ÿ E là giao của \(x = 50\) và \[y = 15 \Rightarrow E(50;15)\].

Gọi \[F(x;y)\] là tổng lượng khách hàng tiếp cận: \[F(x;y) = 4x + 6y\]

Ÿ Tại \[A(20;15):F = 4(20) + 6(15) = 80 + 90 = 170\].

Ÿ Tại \(B(20;20):F = 4(20) + 6(20) = 80 + 120 = 200\).

Ÿ Tại \[C(40;40):F = 4(40) + 6(40) = 160 + 240 = 400\].

Ÿ Tại \[D(50;30):F = 4(50) + 6(30) = 200 + 180 = 380\].

Ÿ Tại \[E(50;15):F = 4(50) + 6(15) = 200 + 90 = 290\].

Giá trị lớn nhất \[{F_{max}} = 400\].

Vậy lượng khách hàng tiếp cận lớn nhất là 400 nghìn khách khi doanh nghiệp chi 40 triệu cho Facebook và 40 triệu cho Google.

a) Khoảng cách từ \(S\) đến \(\left( P \right)\) bằng \(\frac{{\left| {2.1 + 2.1 + 6 - 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{3}\). Vậy a) Đúng.

b) Phương trình tia laser là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 - 2t\\z = 6 - 2t\end{array} \right.\,,t \in \mathbb{R}.\). Giao điểm của tia laser và mặt phẳng \(\left( P \right)\) thỏa mãn \(\left( P \right):2\left( {1 + t} \right) + 2\left( {1 - 2t} \right) + \left( {6 - 2t} \right) - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1\), ứng với \(M\left( {2; - 1;4} \right)\). Vậy b) Sai.

c) Vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n \left( {2;2;1} \right)\), vectơ chỉ phương của Delta là \(\overrightarrow u \left( {1; - 2; - 2} \right)\), nên góc giữa Delta và \(\left( P \right)\) thỏa mãn \[\sin \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {n.} \overrightarrow u } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 2.\left( { - 2} \right) + 1.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{4}{9}\].

Vậy c) Đúng.

d) Gọi \(d\) là đường thẳng nằm trong \(\left( P \right)\) và song song với mặt đất, khi đó dòng nước chảy có phương vuông góc với \(d\). Gọi \(\overrightarrow k \left( {0;0;1} \right)\) là vectơ chỉ phương của trục \(Oz\), khi đó theo tính chất của tích vô hướng, ta có \[\overrightarrow {{u_d}}  = \left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow n } \right]\] và \(\overrightarrow v  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow n } \right]\).

\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow k \left( {0;0;1} \right)\\\overrightarrow n \left( {2;2;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow n } \right] = \left( { - 2;2;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 1;1;0} \right)\] suy ra \(\overrightarrow v  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow n } \right] = \left( {1;1; - 4} \right)\). Vậy d) Sai.

Cách khác: ý d sai vì \(\overrightarrow v \left( {1;1;3} \right)\) và \(\overrightarrow n \left( {2;2;1} \right)\)không vuông góc.