Nồng độ thuốc \[C\] trong máu của một bệnh nhân sau \[t\] giờ tiêm vào tĩnh mạch được xác định bởi công thức \[C\left( t \right) = \frac{{at}}{{{t^2} + 4}}\], với \[a\] là hằng số dương. Đạo hàm của \[C\left( t \right)\]được gọi là tốc độ thay đổi tức thời của nồng độ thuốc tại thời điểm \[t\]. Biết rằng nồng độ thuốc đạt giá trị lớn nhất là \[0,5\]mg/ml. Một bác sĩ muốn tính tốc độ thay đổi tức thời của nồng độ thuốc tại thời điểm \[t = 4\] giờ để quyết định liều tiêm tiếp theo. Tính giá trị tuyệt đối của tốc độ này

Đáp án: \[ - 0,4\].

Gọi \[O\] là trung điểm của \[AB\], do tam giác \[SAB\]cân tại S nên \[SO \bot AB\] mà \[\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\]. Suy ra \[SO \bot \left( {ABCD} \right)\]. Chọn hệ trục toạ độ \[{\rm{Ox}}yz\] như hình vẽ

Diện tích tam giác \[SAB\] là \[\frac{1}{2}.SO.AB = 6 \Leftrightarrow SO = 3\].

Khi đó \[S\left( {0;0;3} \right),O\left( {0;0;0} \right),A\left( { - 2;0;0} \right),C\left( {2;4;0} \right),D\left( { - 2;4;0} \right)\].

Phương trình tham số đường thẳng \(AC\)là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\). Gọi \(J\)là hình chiếu của \(S\)lên \(AC\).

Có \(J\left( {t - 2;t;0} \right)\) mà \(\overrightarrow {SJ} .\overrightarrow {AC}  = 0 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow \overrightarrow {JS} \left( {1; - 1;3} \right)\).

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(D\)lên \(AC\)tương tự suy ra \(\overrightarrow {KD} \left( { - 2;2;0} \right)\).

\[{\rm{cos}}\left[ {S;AC;D} \right] = {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {JS} ,\overrightarrow {KD} } \right) \approx  - 0,4\].

Đáp án: 160.

Gọi mặt hồ bơi là một miền phẳng \(D\) trên hệ trục tọa độ\(Oxy\). Theo dữ kiện đề bài, miền \(D\) được giới hạn bởi các đường:

● Trục\(Ox\): \(y = 0\)

● Trục\(Oy\): \(x = 0\)

● Đường thẳng: \(x = 12\)

● Đường cong: \(y =  - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{2}{3}x + 4\)

Do đó, với một vị trí có hoành độ \(x \in \left[ {0,12} \right]\), chiều rộng của hồ bơi chính là tung độ của đường cong \(y = f\left( x \right) =  - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{2}{3}x + 4\).

Tại vị trí có hoành độ \(x\), độ sâu của hồ bơi chỉ phụ thuộc vào hoành độ và được cho bởi công thức: \(h\left( x \right) = \frac{1}{4}x + 1\).

Khi cắt hồ bơi bởi một mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\), ta được thiết diện là một hình chữ nhật có chiều rộng là \(f\left( x \right)\) và chiều dài  là \(h\left( x \right)\). Diện tích thiết diện này là: \(S\left( x \right) = f\left( x \right) \cdot h\left( x \right)\)

Do đó ta có

\(S\left( x \right) = \left( { - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{2}{3}x + 4} \right)\left( {\frac{1}{4}x + 1} \right)\)\( =  - \frac{1}{{72}}{x^3} - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{1}{6}{x^2} + \frac{2}{3}x + x + 4\)

\( =  - \frac{1}{{72}}{x^3} + \left( {\frac{1}{6} - \frac{1}{{18}}} \right){x^2} + \left( {\frac{2}{3} + 1} \right)x + 4\)

\( =  - \frac{1}{{72}}{x^3} + \frac{1}{9}{x^2} + \frac{5}{3}x + 4\)

Thể tích khối nước trong hồ chính là tích phân của diện tích thiết diện \(S\left( x \right)\) trên đoạn từ \(x = 0\) đến \(x = 12\):

\(V = \int_0^{12} S \left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = \int_0^{12} {\left( { - \frac{1}{{72}}{x^3} + \frac{1}{9}{x^2} + \frac{5}{3}x + 4} \right)} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 160\).

Kết luận: Thể tích nước tối đa mà hồ bơi có thể chứa là \(160\,\,{{\rm{m}}^3}\).