Nồng độ thuốc \[C\] trong máu của một bệnh nhân sau \[t\] giờ tiêm vào tĩnh mạch được xác định bởi công thức \[C\left( t \right) = \frac{{at}}{{{t^2} + 4}}\], với \[a\] là hằng số dương. Đạo hàm của \[C\left( t \right)\]được gọi là tốc độ thay đổi tức thời của nồng độ thuốc tại thời điểm \[t\]. Biết rằng nồng độ thuốc đạt giá trị lớn nhất là \[0,5\]mg/ml. Một bác sĩ muốn tính tốc độ thay đổi tức thời của nồng độ thuốc tại thời điểm \[t = 4\] giờ để quyết định liều tiêm tiếp theo. Tính giá trị tuyệt đối của tốc độ này

Đáp án: \(400\).

Gọi \(x\) là số tiền chi cho quảng cáo trên Facebook.

Gọi \(y\) là số tiền chi cho quảng cáo trên Google.

Điều kiện: \(x,y > 0\).

Từ các điều kiện của đề bài, ta có hệ bất phương trình: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \le 80\quad ({d_1})}\\{x \ge 20\quad ({d_2})}\\{x \le 50\quad ({d_3})}\\{y \ge 15\quad ({d_4})}\\{y \le x\quad ({d_5})}\end{array}} \right.\]

Miền nghiệm của hệ là đa giác  \(ABCDE\) với tọa độ các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng tương ứng:

Ÿ A là giao của \(x = 20\) và \(y = 15 \Rightarrow A(20;15)\).

Ÿ B là giao của \(y = x\) và \(x = 20 \Rightarrow B(20;20)\).

Ÿ C là giao của \(y = x\) và \(x + y = 80 \Rightarrow 2x = 80 \Rightarrow C(40;40)\).

Ÿ D là giao của \(x = 50\) và \(x + y = 80 \Rightarrow D(50;30)\).

Ÿ E là giao của \(x = 50\) và \[y = 15 \Rightarrow E(50;15)\].

Gọi \[F(x;y)\] là tổng lượng khách hàng tiếp cận: \[F(x;y) = 4x + 6y\]

Ÿ Tại \[A(20;15):F = 4(20) + 6(15) = 80 + 90 = 170\].

Ÿ Tại \(B(20;20):F = 4(20) + 6(20) = 80 + 120 = 200\).

Ÿ Tại \[C(40;40):F = 4(40) + 6(40) = 160 + 240 = 400\].

Ÿ Tại \[D(50;30):F = 4(50) + 6(30) = 200 + 180 = 380\].

Ÿ Tại \[E(50;15):F = 4(50) + 6(15) = 200 + 90 = 290\].

Giá trị lớn nhất \[{F_{max}} = 400\].

Vậy lượng khách hàng tiếp cận lớn nhất là 400 nghìn khách khi doanh nghiệp chi 40 triệu cho Facebook và 40 triệu cho Google.

Quy ước \(1\) đơn vị độ dài trên hệ trục tọa độ tương ứng với \(100m\) thực tế.

Dựa vào giả thiết hệ trục \(Oxyz\), ta có:

Điểm \(A\) cao \(100\,{\rm{m}}\), cách vị trí ban đầu \(200\,\,{\rm{m}}\)về phía Đông và \(100\,\,{\rm{m}}\) về phía Nam \( \Rightarrow A\left( {2;1;1} \right)\)

Điểm \(B\) cao \(300\,\,{\rm{m}}\), cách vị trí ban đầu \(140\,\,{\rm{m}}\)về phía Tây  và \(200\,\,{\rm{m}}\)về phía Nam \( \Rightarrow B\left( { - 1,4;2;3} \right)\) hay \(B\left( { - \frac{7}{5};2;3} \right)\).

Điểm \(P\) nằm trên mặt đất \( \Rightarrow P\left( {a;b;0} \right)\).

Drone di chuyển từ \(P\) theo hướng Tây 40m đến \(Q\), tức là di chuyển ngược chiều trục \(Ox\). Ta có vectơ độ dời \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 0,4;0;0} \right) = \left( { - \frac{2}{5};0;0} \right)\).

Tổng quãng đường bay là \(d = AP + QB\).

Gọi \(A'\) là ảnh của điểm \(A\) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {PQ} \).

Ta có \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {PQ}  = \left( { - \frac{2}{5};0;0} \right) \Rightarrow A'\left( {2 - \frac{2}{5};1;1} \right)\) hay \(A'\left( {\frac{8}{5};1;1} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {PQ} \) nên tứ giác \(AA'QP\) là hình bình hành, suy ra \(AP = A'Q\).

Khi đó, tổng quãng đường bay trở thành: \(d = A'Q + QB\).

Ta cần tìm vị trí điểm \(Q \in \left( {Oxy} \right)\) sao cho \(A'Q + QB\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Nhận thấy cao độ của \(A'\) và \(B\) là \({z_{A'}} = 1 > 0\) và \({z_B} = 3 > 0\), nên \(A'\) và \(B\) nằm cùng một phía đối với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Gọi \(A''\) là điểm đối xứng của \(A'\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

\( \Rightarrow A''\left( {\frac{8}{5};1; - 1} \right)\).

Với mọi điểm \(Q \in \left( {Oxy} \right)\), ta luôn có \(A'Q = A''Q\).

Do đó: \(d = A'Q + QB = A''Q + QB \ge A''B\).

Dấu “=” xảy ra  khi và chỉ khi 3 điểm \(A'',Q,B\) thẳng hàng, hay điểm \(Q\) là giao điểm của đường thẳng \(A''B\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng \(A''B\) là \[\overrightarrow {A''B}  = \left( { - \frac{7}{5} - \frac{8}{5};2 - 1;3 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 3;1;4} \right)\].

Phương trình tham số của đường thẳng \(A''B\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{8}{5} - 3t}\\{y = 1 + t}\\{z =  - 1 + 4t}\end{array}} \right.\).

Vì \(Q \in \left( {Oxy} \right)\) nên \({z_Q} = 0 \Leftrightarrow  - 1 + 4t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{4}\).

Thay \(t = \frac{1}{4}\) vào phương trình tham số, ta tìm được tọa độ điểm \(Q\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_Q} = \frac{8}{5} - 3\left( {\frac{1}{4}} \right) = \frac{{17}}{{20}}}\\{{y_Q} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}}\\{{z_Q} = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow Q\left( {\frac{{17}}{{20}};\frac{5}{4};0} \right)\).

Do \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - \frac{2}{5};0;0} \right) \Rightarrow P\left( {\frac{{17}}{{20}} + \frac{2}{5};\frac{5}{4};0} \right)\) hay \(P\left( {\frac{5}{4};\frac{5}{4};0} \right)\).

Suy ra \(a = \frac{5}{4} = 1,25\), \(b = \frac{5}{4} = 1,25\) và \(c = 0\).

Giá trị của biểu thức là: \(S = 2a + 4b + c = 2.1,25 + 4.1,25 + 0 = 7,5\).