Trong không gian \[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left( {1; - 2;1} \right)\], \[B\left( {0;1; - 3} \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right):x - y - 3 = 0\]. 

Chọn a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai.

a) Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1;0} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có dạng \(x - y + m = 0\).

\(M\left( {3;0;0} \right) \in \left( P \right)\)

\(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right) \Rightarrow \frac{{\left| {m + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = 2\sqrt 2  \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 7\end{array} \right.\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là \(x - y + 1 = 0\); \(x - y - 7 = 0\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) cắt \(Ox\) tại điểm có hoành độ dương suy ra \(\left( Q \right):x - y - 7 = 0\).

Suy ra khẳng định đúng.

b) Vec tơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;3; - 4} \right)\), \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 1;0} \right)\).

Vec tơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 4; - 4; - 2} \right)\)

\(\left( \alpha  \right):2x + 2y + z + 1 = 0\). Suy ra khẳng định đúng.

c) \(A \in \left( P \right)\). Suy ra khẳng định đúng.

d) \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 1;0} \right)\) và \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) không cùng phương suy ra mặt phẳng \(\left( P \right)\) không vuông góc với trục \(Oz\). Suy ra khẳng định sai.