Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) và điểm \(B\left( {2;3;4} \right)\). Gọi \(M\) là giao điểm của đường thẳng qua hai điểm \(A,\,\,B\) với mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\], \(N\) thuộc trục \(Oz\) sao cho \(AN\) vuông góc với \[AB.\]

Đáp số: Đ-S-S-Đ

a) \(\overrightarrow {AB}  = (1;1;1)\)

\(\overrightarrow {AB}  = (2 - 1;3 - 2;4 - 3) = (1;1;1)\).

Kết luận: Ý (a) Đúng.

b) Hoành độ của điểm \(M\) bằng \( - 1\).

Phương trình đường thẳng \(AB:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3 + t\end{array} \right..\)

\(M\) là giao điểm của đường thẳng \(AB\) với mặt phẳng \((Oxy)\). Mặt phẳng \((Oxy)\) có phương trình \(z = 0\).

Thay vào phương trình đường thẳng \(AB:\)\(3 + t = 0 \Rightarrow t =  - 3\).

Toạ độ điểm \(M\):

\({x_M} = 1 + ( - 3) =  - 2\)

\({y_M} = 2 + ( - 3) =  - 1\)

\({z_M} = 0\)

Vậy \(M( - 2; - 1;0)\).

Hoành độ của \(M\) là \( - 2\), không phải \( - 1\).

Kết luận: Ý (b) Sai.

c)\(MA > 0,AB > 0\) nên \(MA \ne  - 3AB.\)

Kết luận: Ý (c) Sai.

d) \(\tan \widehat {NMB} = \frac{{\sqrt {42} }}{9}\)

Tìm tọa độ \(N\): \(N\) thuộc trục \(Oz\) nên \(N(0;0;{z_N})\).

\(\overrightarrow {AN}  = ( - 1; - 2;{z_N} - 3)\).

Vì \(AN \bot AB\) nên \(\overrightarrow {AN}  \cdot \overrightarrow {AB}  = 0\):

\(( - 1) \cdot 1 + ( - 2) \cdot 1 + ({z_N} - 3) \cdot 1 = 0 \Rightarrow  - 3 + {z_N} - 3 = 0 \Rightarrow {z_N} = 6\).

Vậy \(N(0;0;6)\).

Tính góc \(\widehat {NMB}\):

\(\overrightarrow {MN}  = (0 - ( - 2);0 - ( - 1);6 - 0) = (2;1;6)\). Độ dài \(MN = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {6^2}}  = \sqrt {41} \).

\(\overrightarrow {MB}  = (2 - ( - 2);3 - ( - 1);4 - 0) = (4;4;4)\). Độ dài \(MB = \sqrt {{4^2} + {4^2} + {4^2}}  = 4\sqrt 3 \).

\(\cos \widehat {NMB} = \frac{{\overrightarrow {MN}  \cdot \overrightarrow {MB} }}{{MN \cdot MB}} = \frac{{2 \cdot 4 + 1 \cdot 4 + 6 \cdot 4}}{{\sqrt {41}  \cdot 4\sqrt 3 }} = \frac{{36}}{{4\sqrt {123} }} = \frac{9}{{\sqrt {123} }}\).

Tính \(\tan \):

Sử dụng công thức \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\):

\({\tan ^2}\widehat {NMB} = \frac{{123}}{{81}} - 1 = \frac{{42}}{{81}} \Rightarrow \tan \widehat {NMB} = \frac{{\sqrt {42} }}{9}\) (vì \(\cos \widehat {NMB} > 0\) nên \(\tan \widehat {NMB} > 0\)).

Kết luận: Ý (d) Đúng.