Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) và điểm \(B\left( {2;3;4} \right)\). Gọi \(M\) là giao điểm của đường thẳng qua hai điểm \(A,\,\,B\) với mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\], \(N\) thuộc trục \(Oz\) sao cho \(AN\) vuông góc với \[AB.\]
Câu hỏi trong đề: Đề thi thử Toán Tốt nghiệp THPT 2025-2026 Huế !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp số: Đ-S-S-Đ
a) \(\overrightarrow {AB} = (1;1;1)\)
\(\overrightarrow {AB} = (2 - 1;3 - 2;4 - 3) = (1;1;1)\).
Kết luận: Ý (a) Đúng.
b) Hoành độ của điểm \(M\) bằng \( - 1\).
Phương trình đường thẳng \(AB:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3 + t\end{array} \right..\)
\(M\) là giao điểm của đường thẳng \(AB\) với mặt phẳng \((Oxy)\). Mặt phẳng \((Oxy)\) có phương trình \(z = 0\).
Thay vào phương trình đường thẳng \(AB:\)\(3 + t = 0 \Rightarrow t = - 3\).
Toạ độ điểm \(M\):
\({x_M} = 1 + ( - 3) = - 2\)
\({y_M} = 2 + ( - 3) = - 1\)
\({z_M} = 0\)
Vậy \(M( - 2; - 1;0)\).
Hoành độ của \(M\) là \( - 2\), không phải \( - 1\).
Kết luận: Ý (b) Sai.
c)\(MA > 0,AB > 0\) nên \(MA \ne - 3AB.\)
Kết luận: Ý (c) Sai.
d) \(\tan \widehat {NMB} = \frac{{\sqrt {42} }}{9}\)
Tìm tọa độ \(N\): \(N\) thuộc trục \(Oz\) nên \(N(0;0;{z_N})\).
\(\overrightarrow {AN} = ( - 1; - 2;{z_N} - 3)\).
Vì \(AN \bot AB\) nên \(\overrightarrow {AN} \cdot \overrightarrow {AB} = 0\):
\(( - 1) \cdot 1 + ( - 2) \cdot 1 + ({z_N} - 3) \cdot 1 = 0 \Rightarrow - 3 + {z_N} - 3 = 0 \Rightarrow {z_N} = 6\).
Vậy \(N(0;0;6)\).
Tính góc \(\widehat {NMB}\):
\(\overrightarrow {MN} = (0 - ( - 2);0 - ( - 1);6 - 0) = (2;1;6)\). Độ dài \(MN = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {6^2}} = \sqrt {41} \).
\(\overrightarrow {MB} = (2 - ( - 2);3 - ( - 1);4 - 0) = (4;4;4)\). Độ dài \(MB = \sqrt {{4^2} + {4^2} + {4^2}} = 4\sqrt 3 \).
\(\cos \widehat {NMB} = \frac{{\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {MB} }}{{MN \cdot MB}} = \frac{{2 \cdot 4 + 1 \cdot 4 + 6 \cdot 4}}{{\sqrt {41} \cdot 4\sqrt 3 }} = \frac{{36}}{{4\sqrt {123} }} = \frac{9}{{\sqrt {123} }}\).
Tính \(\tan \):
Sử dụng công thức \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\):
\({\tan ^2}\widehat {NMB} = \frac{{123}}{{81}} - 1 = \frac{{42}}{{81}} \Rightarrow \tan \widehat {NMB} = \frac{{\sqrt {42} }}{9}\) (vì \(\cos \widehat {NMB} > 0\) nên \(\tan \widehat {NMB} > 0\)).
Kết luận: Ý (d) Đúng.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Ta có đạo hàm hàm số \(y = \log x\) là \(y' = \frac{1}{{x\ln 10}}\).
Chọn Đúng.
b) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ là điểm \(O\). Khi đó hoành độ điểm \(B\) là \(0,1\).
Chọn Đúng.
c) Ta có tung độ điểm \(B\) là \({y_B} = \log 0,1 = - 1\) suy ra tọa độ điểm \(B\left( {0,1; - 1} \right)\).
Do khoảng cách \(AM = 1,4\,m\) suy ra tung độ điểm \(N\) là \({y_N} = 1,4 - 1 = 0,4\).
Chọn Sai.
d) Ta có \({y_N} = \log {x_N} \Leftrightarrow {x_N} = {10^{{y_N}}} = {10^{0,4}}\)
Độ dài giá đỡ bằng \(L = \int\limits_{0,1}^{{{10}^{0,4}}} {\sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{{x\ln 10}}} \right)}^2}} dx \approx 2,97\,m} \).
Chọn Đúng.
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Chọn a) Đúng | b)Sai | c) Đúng | d) Sai.
a) Trong hộp có tổng cộng 12 viên bi, trong đó chỉ có 1 viên bi vàng.
Xác suất để trọng tài bốc được bi vàng trong lần bốc đầu tiên là \(\frac{1}{{12}}\).
Vậy a) Đúng
b) Nếu trọng tài bốc được bi xanh ở lần 1 \( \to \) Trọng tài dừng lại.
Viên cuối trọng tài bốc là Xanh \( \to \)Bạn Xanh được bốc bi. Lúc này trong hộp còn lại: 11 viên (4 Xanh, 6 Đỏ, 1 Vàng).
Để bạn Xanh thắng, bạn đó phải bốc được 1 trong 4 viên bi xanh còn lại.
Xác suất Xanh thắng là: \(P = \frac{4}{{11}}\).
Vậy b)Sai.
c) Sau khi trọng tài bốc 1 Vàng và 1 Đỏ, trong hộp còn lại: 5 bi Xanh và 5 bi Đỏ.
Bạn Đỏ thực hiện bốc 1 viên từ 10 viên này.
Để bạn Xanh thắng, thì bạn Đỏ phải bốc hụt (tức là bốc trúng bi Xanh).
Xác suất bạn Đỏ bốc trúng bi Xanh là: \(P = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\).
Vậy c) Đúng
d)
Ta hiểu ý của bài toán như sau: Xanh thua tương đương với Đỏ thắng
Để bạn Đỏ thắng, bi cuối cùng bốc là màu Đỏ (bất kể người bốc là bạn Đỏ hay Xanh) hoặc bạn Xanh bốc lần 2 ra bi vàng
P(đỏ thắng) = P(bi đỏ bốc được cuối hoặc bạn Xanh bốc ra bi vàng)
= \(\frac{1}{{12}}.\frac{6}{{11}}.\frac{1}{2} + \frac{1}{{12}}.\frac{5}{{11}}.\frac{3}{5} + \frac{1}{2}.\frac{5}{{11}} + \frac{1}{{12}}.\frac{6}{{11}} + \frac{5}{{12}}.\frac{1}{{11}} = \frac{{71}}{{132}}\)
Vậy d) Sai.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập