Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, tamgiác \(SBD\) là tam giác đều, \(SA = a\sqrt 2 \). Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là \({V_{S.ABCD}} = \frac{{m\sqrt 2 {a^3}}}{n}\)(\(m,n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}};\frac{m}{n}\) là phân số tối giản). Giá trị \(m + 2026n\) bằng bao nhiêu?

Đáp án: 107

+ Lấy ba đỉnh trong tám đỉnh sẽ tạo thành một tam giác \(n\left( \Omega  \right) = C_8^3 = 56\).

+ Gọi là biến cố A “lấy được tam giác vuông”

Tam giác vuông khi có một cạnh là đường kính của đường tròn \(O\) và đỉnh còn lại khác với hai đỉnh của cạnh là đường kính. Bát diện đều có bốn đường chéo là đường kính đường tròn \(O\), đỉnh còn lại lấy trong sáu đỉnh

\(n\left( A \right) = 4.6 = 24\).

+ Xác suất của biến cố A: \(p\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{24}}{{56}} = \frac{3}{7}\)

+ Gọi là biến cố B “ba số lập thành cấp số cộng”

Xét các bộ sô có công sai

\(d = 1\) có \(6\) bộ

\(d = 2\) có \(4\) bộ

\(d = 3\) có \(2\) bộ

+ \(n\left( B \right) = 6 + 4 + 2 = 12\)

+ Xác suất của biến cố B: \(p\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{12}}{{56}} = \frac{3}{{14}}\)

Hai biến cố A và B độc lập nên xác suất thu được một tam giác vuông với ba số trên ba đỉnh của tam giác (theo một thứ tự nào đó) lập thành một cấp số cộng là

\(p\left( {AB} \right) = p\left( A \right).p\left( B \right) = \frac{3}{7}.\frac{3}{{14}} = \frac{9}{{98}}\).

Vậy \(m = 9;\,n = 98 \Rightarrow m + n = 9 + 98 = 107\).

Đáp án: 98,1

Chọn hệ tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ

Ta có phương trình đường tròn tâm \(N\) bán kính bằng \(2\,{\rm{cm}}\) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 4\).

Suy ra phương trình cung tròn \(AIB\) là \(y = \sqrt {4 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \).

Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn \(IB\); trục hoành, \(x = 2;x = 4\) quanh trục hoành là \({V_1} = \pi \int\limits_2^4 {\left[ {4 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right]dx = \frac{{16\pi }}{3}} \).

Ta có điểm \(I\)có tọa độ \(\left( {2;2} \right)\).

Ta có phương trình đường tròn tâm \(M\left( {0;2} \right)\) là \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\) suy ra cung tròn  có phương trình là \(y = 2 + \sqrt {4 - {x^2}} \).

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn ; trục hoành; \(x = 0;x = 2\) quanh trục hoành là \({V_2} = \pi \int\limits_0^2 {{{\left[ {2 + \sqrt {4 - {x^2}} } \right]}^2}dx} \).

Thể tích của vật thể \(\left( {H1} \right)\) bằng \({V_1} + {V_2} \approx 98,1\).