Trong bản thiết kế của dự án lắp đặt đường dây điện cho vùng núi tỉnh A, các kĩ sư dự kiến xây dựng các trụ điện cao \[120{\rm{m}}{\rm{.}}\] Để giữ thăng bằng cho trụ điện, hệ thống dây cáp được nối từ đỉnh trụ \[S\]xuống mặt đất giả định tại các điểm \[A,B,C\] trên mặt phẳng nằm ngang sao cho \[S.ABC\] là hình chóp tam giác đều, khoảng cách từ chân trụ đến các điểm \[A,B,C\] bằng \[40\sqrt 3 {\rm{ m}}{\rm{.}}\] Tuy nhiên, do địa hình thực tế là sườn núi dốc \[10^\circ \] so với mặt phẳng nằm ngang nên vị trí tiếp đất thực tế của dây cáp sẽ tại \[A,B',C'\] \[(BB',CC'\] song song với thân trụ điện, tham khảo hình vẽ). Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét) với \[O\] trùng với chân trụ điện, mặt phẳng \[Oxy\] trùng với mặt phẳng thiết kế nằm ngang, điểm \[A\] thuộc tia \[Oy,\] trục \[Oz\] hướng lên trên.

Khi đó, tọa độ các điểm \(B'({x_{B'}};{y_{B'}};{z_{B'}}),C'({x_{C'}};{y_{C'}};{z_{C'}}).\) Giá trị \(|{z_{B'}} - {z_{C'}}|\) bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Đáp án: 98,1

Chọn hệ tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ

Ta có phương trình đường tròn tâm \(N\) bán kính bằng \(2\,{\rm{cm}}\) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 4\).

Suy ra phương trình cung tròn \(AIB\) là \(y = \sqrt {4 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \).

Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn \(IB\); trục hoành, \(x = 2;x = 4\) quanh trục hoành là \({V_1} = \pi \int\limits_2^4 {\left[ {4 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right]dx = \frac{{16\pi }}{3}} \).

Ta có điểm \(I\)có tọa độ \(\left( {2;2} \right)\).

Ta có phương trình đường tròn tâm \(M\left( {0;2} \right)\) là \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\) suy ra cung tròn  có phương trình là \(y = 2 + \sqrt {4 - {x^2}} \).

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn ; trục hoành; \(x = 0;x = 2\) quanh trục hoành là \({V_2} = \pi \int\limits_0^2 {{{\left[ {2 + \sqrt {4 - {x^2}} } \right]}^2}dx} \).

Thể tích của vật thể \(\left( {H1} \right)\) bằng \({V_1} + {V_2} \approx 98,1\).

Đáp án: a)S b)Đ c)Đ d)S

a) Sai.

Vectơ chỉ phương của \[\Delta \] là \[{\vec u_\Delta } = (3; - 4;1)\]. Kết luận: SAI.

b) Đúng

- Xét tích vô hướng: \[{\vec u_\Delta } \cdot {\vec n_P} = 3 \cdot 4 + ( - 4) \cdot 3 + 1 \cdot 0 = 12 - 12 + 0 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta \parallel (P)\\\Delta  \subset (P)\end{array} \right..\]

- Lấy điểm \[A(50; - 20;10) \in \Delta \]. Thay tọa độ A vào (P): \[4.50 + 3.( - 20) - 140 = 200 - 60 - 140 = 0\] (Thỏa mãn).

Vì \[A \in (P)\]nên đường thẳng \[\Delta \] nằm trong mặt phẳng (P). Kết luận: ĐÚNG.

c) Đúng.

Ta có: \[\overrightarrow {AC}  = (200 - 50; - 300 - ( - 20);60 - 10) = (150; - 280;50)\]; \[{\vec u_\Delta } = (3; - 4;1)\]

\[d(C,\Delta ) = \frac{{|[\overrightarrow {AC} ,{{\vec u}_\Delta }]|}}{{|{{\vec u}_\Delta }|}} = \frac{{\sqrt {{{( - 80)}^2} + {0^2} + {{240}^2}} }}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{80\sqrt {10} }}{{\sqrt {26} }} \approx 49,6{\mkern 1mu} (km)\]

Vì \[d(C,\Delta ) \approx 49,6 < R = 80\]nên máy bay sẽ bay xuyên qua khối mây. Kết luận: ĐÚNG.

d) Sai.

M là hình chiếu của C lên \[\Delta \], nên M thuộc \[\Delta \]. Tham số hóa tọa độ M:

\[M(50 + 3t; - 20 - 4t;10 + t) \Rightarrow \overrightarrow {CM}  = (3t - 150; - 4t + 280;t - 50).\]

Vì \[\overrightarrow {CM}  \bot {\vec u_\Delta }\] nên:

\[\begin{array}{l}3(3t - 150) - 4( - 4t + 280) + 1(t - 50) = 0\\ \Leftrightarrow 9t - 450 + 16t - 1120 + t - 50 = 0 \Leftrightarrow 26t = 1620 \Leftrightarrow t = \frac{{810}}{{13}}\end{array}\]

Quãng đường AM là: \[AM = \sqrt {{{(3t)}^2} + {{( - 4t)}^2} + {t^2}}  = |t|\sqrt {26}  = \frac{{810}}{{13}} \cdot \sqrt {26}  \approx 317,7{\mkern 1mu} (km)\]

Thời gian di chuyển T: \[T = \frac{S}{v} = \frac{{317,7}}{{500}} \approx 0,6354{\mkern 1mu} (h) \approx 38,1p > 30p\]

nên khẳng định thời gian nhỏ hơn 30 phút là sai. Kết luận: SAI.