Ông Khoa muốn xây một bể cá chứa nước dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích\[288{m^3}\]
Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê công nhân xây bể là \[400000\] đồng/\[{m^2}\]. Nếu ông Khoa biết xác định các kích thước một cách hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông Khoa trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể cá đó là bao nhiêu? (Đơn vị tính triệu đồng).

Đáp án: –5.

Ta có: \[\overrightarrow {SA}  = \left( {0; - 6; - 20} \right) \Rightarrow SA = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {{\left( { - 20} \right)}^2}}  = 2\sqrt {209} \]

\[\overrightarrow {SB}  = \left( {3\sqrt 3 ;3; - 20} \right) \Rightarrow SB = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( 3 \right)}^2} + {{\left( { - 20} \right)}^2}}  = 2\sqrt {209} \]

\[\overrightarrow {SC}  = \left( { - 3\sqrt 3 ;3; - 20} \right) \Rightarrow SC = \sqrt {{{\left( { - 3\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( 3 \right)}^2} + {{\left( { - 20} \right)}^2}}  = 2\sqrt {209} \]

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}SA = SB = SC\\\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  = \left( {0;0; - 60} \right)\end{array} \right.\].

Vì các lực  \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) cùng hướng lần lượt theo theo các đoạn \[\overrightarrow {SA} \], \[\overrightarrow {SB} \], \[\overrightarrow {SC} \] có độ lớn bằng nhau nên ta có

\[\frac{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}}{{SA}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}}{{SB}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|}}{{SC}} = k\left( {k > 0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{F_1}}  = k\overrightarrow {SA} \\\overrightarrow {{F_2}}  = k\overrightarrow {SB} \\\overrightarrow {{F_3}}  = k\overrightarrow {SC} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = k\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC} } \right) = \left( {0;0; - 60k} \right)\].

Vì chiếc điện thoại cân bằng nên ta có \[\left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow P } \right|\] (\[\overrightarrow P \] là vectơ trọng lực của chiếc điện thoại).

Lại có \[\left| {\overrightarrow P } \right| = 2\]\[ \Rightarrow k = \frac{1}{{30}}\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}}  = \left( {0;\frac{{ - 1}}{5};\frac{{ - 2}}{3}} \right)\].

Vậy \(T = 2a + 5b + 6c = 2.0 + 5.\left( { - \frac{1}{5}} \right) + 6.\left( { - \frac{2}{3}} \right) =  - 5\).

a) Sai.

Tại thời điểm 7 giờ: \(\overrightarrow {OM}  = \left( {50;120;4} \right)\).

Tại thời điểm 9 giờ, với \(\overrightarrow v  = \left( {300;400;3} \right)\): \(\overrightarrow {OM}  + 2\overrightarrow v  = \left( {650;920;10} \right)\).

Vậy tại thời điểm 9 giờ, máy bay ở tọa độ \({M_2}\left( {650;920;10} \right)\).

Khoảng cách giữa máy bay và một tháp truyền hình:

\({M_2}H = \sqrt {{{\left( {1250 - 650} \right)}^2} + {{\left( {1020 - 920} \right)}^2} + {{\left( {0 - 10} \right)}^2}}  \approx 608\) (km).

b) Đúng.

Tại thời điểm 7 giờ: \(\overrightarrow {OM}  = \left( {50;120;4} \right)\).

Khoảng cách giữa máy bay và trạm kiểm soát không lưu: \(OM = \sqrt {{{50}^2} + {{120}^2} + {4^2}}  \approx 130\) (km).

c) Đúng.

Từ độ cao 10 km, với vận tốc hạ độ cao là \(4\) km/h, máy bay cần \(2,5\) giờ để đáp xuống đất.

Sau \(2,5\) giờ, với \(\overrightarrow v  = \left( {400;300; - 4} \right)\): \(\overrightarrow {O{M_2}}  + 2,5\overrightarrow v  = \left( {1650;1670;0} \right)\).

Vậy khi đáp xuống sân bay, máy bay ở tọa độ \({M_3}\left( {1650;1670;0} \right)\).

d) Sai.

Tại thời điểm 8 giờ, với \(\overrightarrow v  = \left( {300;400;3} \right)\): \(\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow v  = \left( {350;520;7} \right)\).

Vậy tại thời điểm 8 giờ, máy bay ở tọa độ \({M_1}\left( {350;520;7} \right)\).

Do đó, độ cao của máy bay so với mặt đất là \(7\) km.