Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian \[Oxyz\], hai con đường đó thuộc hai đường thẳng \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\]. Biết đường thẳng \[{\Delta _1}\] đi qua hai điểm \[A\left( {2;1;1} \right)\],\[B\left( {3;0;3} \right)\] và đường thẳng \[{\Delta _2}:\frac{{x - 7}}{3} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\].

Trả lời: 128

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ sau

Ta có \(A(0;22,5),B(80;22,5),C(40;2,5)\)

Gọi \(S\) là tọa độ đỉnh của parabol chứa đường cong \(AC\) thì \(S\left( {30;0} \right)\)

- Mép miệng (trên):\({y_{{\rm{tr\^e n }}}} = 22,5\).

- Đáy - parabol (đường cong \[AC\]) (\(0 \to 40\)): đỉnh \(S(30;0)\), \({y_1}(x) = \frac{{{{(x - 30)}^2}}}{{40}},0 \le x \le 40.\)

- Đáy - đoạn thẳng \[BC\] \((40 \to 80)\): qua \((40;2,5)\) và \(B(80;22,5)\)\({y_2}(x) = \frac{1}{2}x - 17,5,40 \le x \le 80.\)

Diện tích tiết diện chứa \(A = \int_0^{40} {\left( {22,5 - {y_1}(x)} \right)} dx + \int_{40}^{80} {\left( {22,5 - {y_2}(x)} \right)} dx = \frac{{2000}}{3} + 400 = \frac{{3200}}{3}\)

Thể tích gầu (chiều dài 120 cm): \(V = A \cdot 120 = \frac{{3200}}{3} \cdot 120 = 128000\;c{m^3} = 128{\rm{ l\'i t}}{\rm{. }}\)

Đáp số: 0,53

Gọi \(A\) là các biến cố “Học sinh được gặp là học sinh nam”

Gọi \(B\) là biến cố “Học sinh đó tham gia câu lạc bộ Toán học trong nhà trường”

\(P\left( A \right) = \frac{{21}}{{45}}\), \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{{24}}{{45}}\).

\(P\left( {B|A} \right) = 0,14\); \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,11\)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần

\[P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\]\( = \frac{{21}}{{45}}.0,14 + \frac{{24}}{{45}}.0,11 = \frac{{31}}{{250}}\)

Xác suất để học sinh đó là nam, biếtsrL| rằng học sinh đó tham gia câu lạc bộ Toán học, ta áp dụng công thức Bayes:

\[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}}\]\( = \frac{{\frac{{21}}{{45}}.0,14}}{{\frac{{31}}{{250}}}} = \frac{{49}}{{93}} \approx 0,53\).