Một khinh khí cầu bay với độ cao (so với mực nước biển) tại thời điểm \[t\left( {0 \le t \le 29} \right)\] là \(h\left( t \right),\) trong đó \(t\) tính bằng phút, \(h\left( t \right)\) tính bằng mét. Tốc độ bay của khinh khí cầu được cho bởi hàm số \(v\left( t \right) = a{t^2} + bt\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right),\) với \(t\) tính bằng phút, \(v\left( t \right)\) tính bằng mét/phút. Tại thời điểm xuất phát, khinh khí cầu ở độ cao \(520\) m và \(5\) phút sau khi xuất phát, khinh khí cầu đã ở độ cao \(530\) m. Khinh khí cầu sẽ trở lại độ cao khi xuất phát sau \(15\) phút. 

Tại thời điểm xuất phát, khinh khí cầu ở độ cao \(520\) m vậy nên \(h\left( 0 \right) = 520\)m

b) Sai

Độ cao của khinh khí cầu tại thời điểm \(t\left( {0 \le t \le 29} \right)\) là \(h\left( t \right) = 520 + \int\limits_0^t {v\left( t \right){\rm{d}}t} .\)

c) Đúng

\(h\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt = \frac{{a{t^3}}}{3} + \frac{{b{t^2}}}{2} + C} \)

Có hệ ba phương trình ba ẩn:\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}h\left( 0 \right) = 520\\h\left( 5 \right) = 530\\h\left( {15} \right) = 520\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 520\\\frac{{125}}{3}a + \frac{{25}}{2}b + C = 530\\\frac{{{{15}^3}}}{3}a + \frac{{{{15}^2}}}{2}b + C = 520\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{3}{{25}}\\b = \frac{6}{5}\\C = 520\end{array} \right. \Rightarrow h\left( t \right) =  - \frac{1}{{25}}{t^3} + \frac{3}{5}{t^2} + 520\\ \Rightarrow v\left( t \right) =  - \frac{3}{{25}}{t^2} + \frac{6}{5}t\end{array}\]

Xét \(v\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow 0 < t < 10\) vậy nên giai đoạn khinh khí cầu tăng độ cao kéo dài trong \(10\) phút kể từ thời điểm xuất phát là đúng

d) Đúng

Xét \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 10\end{array} \right.\)

Với \(h\left( 0 \right) = 520\), \(h\left( {10} \right) = 540\) nên độ cao tối đa của khinh khí cầu là \(540\) m là đúng