Xếp ngẫu nhiên bốn bạn Thống, Nhất, Việt, Nam trên một chiếc bàn tròn.

(a) Mô tả không gian mẫu của phép thử. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

(b) Tính xác suất của biến cố A: “ Việt và Nam ngồi cạnh nhau”.

${\Delta }^{\text{'}}=m^2+4m+5={\left(m+2\right)}^2+1>0$ với mọi m.

Suy ra phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\)

Theo viete ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} + {x_1} = 2m\left( 2 \right)\\{x_1}.{x_2} = - 4m - 5\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Theo đề, ta có: \[\frac{1}{2}x_1^2 - \left( {m + 1} \right){x_1} + {x_2} - \frac{7}{2}m = \frac{7}{2}\]

\[x_1^2 - 2\left( {m + 1} \right){x_1} + 2{x_2} - 7m - 7 = 0\]

\[x_1^2 - 2m{x_1} - 4m - 5 + 2\left( {{x_2} - {x_1}} \right) - 3m - 2 = 0\]

\[2\left( {{x_2} - {x_1}} \right) - 3m - 2 = 0\] ( vì \[x_1^2 - 2m{x_1} - 4m - 5 = 0\] do \({x_1}\) là nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) ) hay \[{x_2} - {x_1} = \frac{3}{2}m + 1\left( 4 \right)\]

Từ \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 4 \right)\), ta có hệ phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} + {x_1} = 2m\\{x_2} - {x_1} = \frac{3}{2}m + 1\end{array} \right.\)

Giải hệ có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \frac{{7m + 2}}{4}\\{x_1} = \frac{{m - 2}}{4}\end{array} \right.\)

Thay vào \(\left( 3 \right)\) ta được: \(\frac{{7m + 2}}{4} \times \frac{{m - 2}}{4} = - 4m - 5\)

Hay \(7{m^2} + 52m + 76 = 0\)

Giải phương trình được \(m = - 2;m = \frac{{ - 38}}{7}\).

Vậy \(m = - 2;m = \frac{{ - 38}}{7}\) thì phương trình\(\,\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\)thoả mãn\[\frac{1}{2}x_1^2 - \left( {m + 1} \right){x_1} + {x_2} - \frac{7}{2}m = \frac{7}{2}\].

a) Tứ giác ABCD là hình bình hành

Vì đường thẳng d qua \(A\) song song BC suy ra \(AD//BC\)

Vì đường thẳng d’ qua \(C\) song song AB suy ra \(AB//CD\)

Vậy ABCD là hình bình hành

b) Tứ giác \(AECD\)nội tiếp được trong đường tròn.

Ta có \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành \( \Rightarrow AB{\rm{//}}CD\) nên \(\widehat {ACD} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)(hai góc so le trong)

Suy ra \(\widehat {AED} = \widehat {ACD} = 90^\circ \). Từ đó chỉ được ra tứ giác \(AECD\)nội tiếp đường tròn đường kính \[AD\]

c) \(DF.DB = 2A{B^2}\)

Gọi giao điểm của \(AC\) và \(BD\)là \(I\), do tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(IA = IC;IB = ID;AB = CD\)

Xét tam giác \(DCI\)vuông tại \(C\)có \(CF\)là đường cao, sử dụng tam giác đồng dạng chỉ ra \(C{D^2} = DF.DI \Rightarrow A{B^2} = DF.DI\)

\( \Rightarrow 2A{B^2} = 2.DF.DI\)mà \(2DI = BD\)do đó \(2A{B^2} = DF.BD\).