Giải bài toán sau bằng cách lập bất phương trình:

Một nhà máy sản xuất xi măng mỗi ngày đều sản xuất được 100 tấn xi măng. Lượng xi măng tồn trong kho của nhà máy là 300 tấn. Hỏi nhà máy đó cần sản xuất trong ít nhất bao nhiêu ngày để có thể xuất đi 15 300 tấn xi măng (tính cả lượng xi măng tồn trong kho)?

Không gian mẫu:

a) \[\Omega = \]{(Việt, Nam, Thống, Nhất);(Việt, Nam, Nhất, Thống);(Việt, Nhất, Thống, Nam);(Việt, Nhất, Nam, Thống); (Việt, Thống, Nhất, Nam);(Việt, Thống, Nam, Thống)}

Vậy không gian mẫu có \[6\] phần tử.

b) Kết quả thuận lợi cho biến cố A là \[{\Omega _A} = \]{(Việt, Nam, Thống, Nhất);(Việt, Nam, Nhất, Thống);(Việt, Nhất, Thống, Nam);(Việt, Thống, Nhất, Nam)}. Suy ra \(n\left( A \right) = 4\).

Không gian mẫu có 6 phần tử, suy ra \(n\left( \Omega \right) = 6\)

Vậy xác suất của biến cố A là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

${\Delta }^{\text{'}}=m^2+4m+5={\left(m+2\right)}^2+1>0$ với mọi m.

Suy ra phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\)

Theo viete ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} + {x_1} = 2m\left( 2 \right)\\{x_1}.{x_2} = - 4m - 5\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Theo đề, ta có: \[\frac{1}{2}x_1^2 - \left( {m + 1} \right){x_1} + {x_2} - \frac{7}{2}m = \frac{7}{2}\]

\[x_1^2 - 2\left( {m + 1} \right){x_1} + 2{x_2} - 7m - 7 = 0\]

\[x_1^2 - 2m{x_1} - 4m - 5 + 2\left( {{x_2} - {x_1}} \right) - 3m - 2 = 0\]

\[2\left( {{x_2} - {x_1}} \right) - 3m - 2 = 0\] ( vì \[x_1^2 - 2m{x_1} - 4m - 5 = 0\] do \({x_1}\) là nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) ) hay \[{x_2} - {x_1} = \frac{3}{2}m + 1\left( 4 \right)\]

Từ \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 4 \right)\), ta có hệ phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} + {x_1} = 2m\\{x_2} - {x_1} = \frac{3}{2}m + 1\end{array} \right.\)

Giải hệ có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \frac{{7m + 2}}{4}\\{x_1} = \frac{{m - 2}}{4}\end{array} \right.\)

Thay vào \(\left( 3 \right)\) ta được: \(\frac{{7m + 2}}{4} \times \frac{{m - 2}}{4} = - 4m - 5\)

Hay \(7{m^2} + 52m + 76 = 0\)

Giải phương trình được \(m = - 2;m = \frac{{ - 38}}{7}\).

Vậy \(m = - 2;m = \frac{{ - 38}}{7}\) thì phương trình\(\,\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\)thoả mãn\[\frac{1}{2}x_1^2 - \left( {m + 1} \right){x_1} + {x_2} - \frac{7}{2}m = \frac{7}{2}\].