Anh Bình là công nhân của khu chế xuất công nghiệp. Trong tháng 5 vừa qua quản lí lao động phân xưởng kiểm tra quẹt thẻ cho biết anh Bình đã làm tổng cộng 212 giờ trong đó có giờ làm theo định mức qui định và giờ làm thêm ngoài giờ. Trong định mức mỗi giờ anh Bình được trả công 38000 đồng, với mỗi giờ làm thêm được trả 150% của tiền công làm một giờ trong định mức. Như vậy trong tháng 5, anh Bình được lãnh tổng cộng số tiền là 8 436 000 đồng. Tính xem anh Bình đã làm thêm bao nhiêu giờ ngoài định mức trong tháng 5?

a) Ta có \[\widehat {ADB} = {90^0}\](Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB)

Suy ra tam giác ABD vuông tại D

Ta có MA = MC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OC = R nên OM là trung trực của AC. Suy ra OM\( \bot \)AC tại H.

b) Ta có MA là tiếp tuyến của (O) tại A nên \(MA \bot OA\). Suy ra tam giác OAM vuông tại A.

Xét \(\Delta OHA\)và \(\Delta OAM\)có:

\(\widehat {AOM}\)chung

\(\widehat {OHA} = \widehat {OAM} = 90^\circ \)

Vậy \(\Delta OHA\) ᔕ\(\Delta OAM(g - g)\)

Suy ra \(\frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{OM}}\)nên \(O{A^2} = OH.OM\)

Mà OA = OD = R nên \(O{D^2} = OH.OM\)

Từ \(O{D^2} = OH.OM\) suy ra \(\frac{{OD}}{{OM}} = \frac{{OH}}{{OD}}\)

Xét \(\Delta ODH\)và \(\Delta OMD\)có:

\(\widehat {DOM}\)chung

\(\frac{{OD}}{{OM}} = \frac{{OH}}{{OD}}\)

Suy ra \(\Delta ODH\)ᔕ\(\Delta OMD\)(c-g-c)

\(\widehat {ODH} = \widehat {OMD}(1)\)

\(\Delta ADM\)vuông tại D suy ra \(\Delta ADM\)nội tiếp đường tròn đường kính AM (2)

\(\Delta AHM\)vuông tại H suy ra \(\Delta AHM\)nội tiếp đường tròn đường kính AM (3)

Từ (2), (3) suy ra bốn điểm A, H, D, M cùng thuộc đường tròn đường kính AM.

Suy ra tứ giác AHDM nội tiếp

Nên \(\widehat {HMD} = \widehat {HAD}\)(cùng chắn cung HD)

Vậy \(\widehat {ODH} = \widehat {DAC}\)

c) Ta có OD = OB = R. Suy ra \(\Delta OBD\)cân tại R.

Mà K là trung điểm BD nên \(OK \bot BD\)tại K nên \(\widehat {OKM} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta OHE\)và \(\Delta OKM\)có:

\(\widehat {MOK}\)chung

\(\widehat {OHE} = \widehat {OKM} = 90^\circ \)

Suy ra \(\Delta OHE\)ᔕ\(\Delta OKM\)(g-g)

Nên \(\frac{{OH}}{{OK}} = \frac{{OE}}{{OM}}\)hay OH.OM = OK.OE

Theo câu b, OH.OM = OA² = R²

Do đó \(OK.OE = {R^2}\). Mà OB = R nên \[OK.OE{\rm{ }} = {\rm{ }}O{B^2}\]

Suy ra \(\frac{{OK}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OE}}\)

Xét \(\Delta OBK\)và \(\Delta OEB\)có:

\(\widehat {BOE}\)chung

\(\frac{{OK}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OE}}\)

Suy ra \(\Delta OBK\)ᔕ\(\Delta OEB\)(c-g-c)

Nên \(\widehat {OBE} = \widehat {OKB} = 90^\circ \)

Do đó \(\Delta OEB\) vuông tại B

\(\Delta OAM\)vuông tại A

\[\cos \widehat {AOM} = \frac{{OA}}{{OM}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2}\]

Suy ra \(\widehat {AOM} = 60^\circ \)

Ta có \(\Delta OHA\)vuông tại H

\(\widehat {OAH} = 90^\circ - \widehat {AOM} = 30^\circ \)

Xét \(\Delta ABE\)vuông tại B có \(\tan \widehat {BAE} = \frac{{BE}}{{AB}}\)

Suy ra \(BE = AB\tan 30^\circ = 2R.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2R\sqrt 3 }}{3}\)

Tam giác OEB vuông tại B có OB = R, \(BE = \frac{{2R\sqrt 3 }}{3}\)

Diện tích tam giác OEB là

\(S = \frac{1}{2}.OB.BE = \frac{1}{2}.R.\frac{{2R\sqrt 3 }}{3} = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{3}\)

Thay m = 2 vào pt (1) ta được: \({x^2} + 2x - 3 = 0{\rm{ }}\)

Ta có a + b + c = 1 + 2 + (-3) = 0 nên phương trình có nghiệm x₁ = 1; x₂ = -3

Vậy với m = 2 thì phương trình có nghiệm x₁ = 1; x₂ = -3

Ta có a + b + c = 1 + 2 + (-3) = 0 nên phương trình có nghiệm x₁ = 1; x₂ = -3

Vậy với m = 2 thì phương trình có nghiệm x₁ = 1; x₂ = -3

(vì \({(m - 3)^2} \ge 0\) và 3 > 0)

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)với mọi m

Áp dụng định lí Vietè ta có:

\(x{}_1 + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 2(m - 1)}}{1} = - 2(m - 1);{\rm{ }}{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{4m - 11}}{1} = 4m - 11\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}2{({x_1} - 1)^2} + (6 - {x_2})({x_1}{x_2} + 11) = 72\\2({x_1}^2 - 2{x_1} + 1) + (6 - {x_2})(4m - 11 + 11) = 72\\2({x_1}^2 - 2{x_1} + 1) + (6 - {x_2})4m = 72(2)\end{array}\)

Vì x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1) nên ta có

\(\begin{array}{l}{x_1}^2 + 2(m - 1){x_1} + 4m - 11 = 0\\{x_1}^2 + 2m{x_1} - 2{x_1} + 4m - 11 = 0\\{x_1}^2 - 2{x_1} + 1 = - 2m{x_1} - 4m + 12\end{array}\)

Thay vào (2) ta được:

\[\begin{array}{l}2( - 2m{x_1} - 4m + 12) + (6 - {x_2})4m = 72\\ - 4m{x_1} - 8m + 24 + 24m - 4m{x_2} - 72 = 0\\ - 4m({x_1} + {x_2}) + 16m - 48 = 0\\ - 4m[ - 2(m - 1)] + 16m - 48 = 0\\8{m^2} - 8m + 16m - 48 = 0\\8{m^2} + 8m - 48 = 0\\{m^2} + m - 6 = 0\\m = - 3;m = 2\end{array}\]

Vậy m = -3; m = 2.