Người ta thiết kế một chiếc tô (không tính phần đế tô) trên bản vẽ, có mặt cắt dọc là một parabol (P), miệng tô là đường tròn. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, parabol (P) có phương trình \(y = \frac{1}{{16}}{x^2}\). Hãy vẽ (P) và cho biết, nếu chiếc tô sâu 4cm (không tính đế tô) thì đường kính miệng tô bằng bao nhiêu cm?

a) Ta có \[\widehat {ADB} = {90^0}\](Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB)

Suy ra tam giác ABD vuông tại D

Ta có MA = MC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OC = R nên OM là trung trực của AC. Suy ra OM\( \bot \)AC tại H.

b) Ta có MA là tiếp tuyến của (O) tại A nên \(MA \bot OA\). Suy ra tam giác OAM vuông tại A.

Xét \(\Delta OHA\)và \(\Delta OAM\)có:

\(\widehat {AOM}\)chung

\(\widehat {OHA} = \widehat {OAM} = 90^\circ \)

Vậy \(\Delta OHA\) ᔕ\(\Delta OAM(g - g)\)

Suy ra \(\frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{OM}}\)nên \(O{A^2} = OH.OM\)

Mà OA = OD = R nên \(O{D^2} = OH.OM\)

Từ \(O{D^2} = OH.OM\) suy ra \(\frac{{OD}}{{OM}} = \frac{{OH}}{{OD}}\)

Xét \(\Delta ODH\)và \(\Delta OMD\)có:

\(\widehat {DOM}\)chung

\(\frac{{OD}}{{OM}} = \frac{{OH}}{{OD}}\)

Suy ra \(\Delta ODH\)ᔕ\(\Delta OMD\)(c-g-c)

\(\widehat {ODH} = \widehat {OMD}(1)\)

\(\Delta ADM\)vuông tại D suy ra \(\Delta ADM\)nội tiếp đường tròn đường kính AM (2)

\(\Delta AHM\)vuông tại H suy ra \(\Delta AHM\)nội tiếp đường tròn đường kính AM (3)

Từ (2), (3) suy ra bốn điểm A, H, D, M cùng thuộc đường tròn đường kính AM.

Suy ra tứ giác AHDM nội tiếp

Nên \(\widehat {HMD} = \widehat {HAD}\)(cùng chắn cung HD)

Vậy \(\widehat {ODH} = \widehat {DAC}\)

c) Ta có OD = OB = R. Suy ra \(\Delta OBD\)cân tại R.

Mà K là trung điểm BD nên \(OK \bot BD\)tại K nên \(\widehat {OKM} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta OHE\)và \(\Delta OKM\)có:

\(\widehat {MOK}\)chung

\(\widehat {OHE} = \widehat {OKM} = 90^\circ \)

Suy ra \(\Delta OHE\)ᔕ\(\Delta OKM\)(g-g)

Nên \(\frac{{OH}}{{OK}} = \frac{{OE}}{{OM}}\)hay OH.OM = OK.OE

Theo câu b, OH.OM = OA² = R²

Do đó \(OK.OE = {R^2}\). Mà OB = R nên \[OK.OE{\rm{ }} = {\rm{ }}O{B^2}\]

Suy ra \(\frac{{OK}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OE}}\)

Xét \(\Delta OBK\)và \(\Delta OEB\)có:

\(\widehat {BOE}\)chung

\(\frac{{OK}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OE}}\)

Suy ra \(\Delta OBK\)ᔕ\(\Delta OEB\)(c-g-c)

Nên \(\widehat {OBE} = \widehat {OKB} = 90^\circ \)

Do đó \(\Delta OEB\) vuông tại B

\(\Delta OAM\)vuông tại A

\[\cos \widehat {AOM} = \frac{{OA}}{{OM}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2}\]

Suy ra \(\widehat {AOM} = 60^\circ \)

Ta có \(\Delta OHA\)vuông tại H

\(\widehat {OAH} = 90^\circ - \widehat {AOM} = 30^\circ \)

Xét \(\Delta ABE\)vuông tại B có \(\tan \widehat {BAE} = \frac{{BE}}{{AB}}\)

Suy ra \(BE = AB\tan 30^\circ = 2R.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2R\sqrt 3 }}{3}\)

Tam giác OEB vuông tại B có OB = R, \(BE = \frac{{2R\sqrt 3 }}{3}\)

Diện tích tam giác OEB là

\(S = \frac{1}{2}.OB.BE = \frac{1}{2}.R.\frac{{2R\sqrt 3 }}{3} = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{3}\)

Gọi x(giờ) là số giờ làm việc trong định mức, y(giờ) là số giờ làm thêm ngoài định mức

(\(0 < x,y < 212)\)

Vì tổng số giờ làm việc là 212 giờ nên ta có phương trình: x + y = 212 (1)

Tiền công cho mỗi giờ làm thêm là 38000.150% = 57 000 (đồng)

Tổng số tiền lương anh Bình nhận được là 8 436 000 đồng nên ta có phương trình:

38 000x + 57 000y = 8 436 000 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 212\\38000x + 57000y = 8436000\end{array} \right.\)

Giải hpt ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 192\\y = 20\end{array} \right.(TM)\)

Vậy anh Bình đã làm thêm 20 giờ ngoài định mức