Trong một công viên, người ta xây một bồn hoa hình trụ ở giữa bãi cỏ như hình minh họa. Bồn hoa có bán kính đáy 2m (tính đến mép ngoài của bồn) và chiều cao 1,2m. Xung quanh bồn hoa là một lối đi dạng hình vành khuyên rộng 1m, để khách tham quan đi dạo. Tính diện tích phần lối đi dạng hình vành khuyên xung quanh bồn hoa và tính thể tích của bồn hoa hình trụ (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2)

a) Ta có \[\widehat {ADB} = {90^0}\](Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB)

Suy ra tam giác ABD vuông tại D

Ta có MA = MC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OC = R nên OM là trung trực của AC. Suy ra OM\( \bot \)AC tại H.

b) Ta có MA là tiếp tuyến của (O) tại A nên \(MA \bot OA\). Suy ra tam giác OAM vuông tại A.

Xét \(\Delta OHA\)và \(\Delta OAM\)có:

\(\widehat {AOM}\)chung

\(\widehat {OHA} = \widehat {OAM} = 90^\circ \)

Vậy \(\Delta OHA\) ᔕ\(\Delta OAM(g - g)\)

Suy ra \(\frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{OM}}\)nên \(O{A^2} = OH.OM\)

Mà OA = OD = R nên \(O{D^2} = OH.OM\)

Từ \(O{D^2} = OH.OM\) suy ra \(\frac{{OD}}{{OM}} = \frac{{OH}}{{OD}}\)

Xét \(\Delta ODH\)và \(\Delta OMD\)có:

\(\widehat {DOM}\)chung

\(\frac{{OD}}{{OM}} = \frac{{OH}}{{OD}}\)

Suy ra \(\Delta ODH\)ᔕ\(\Delta OMD\)(c-g-c)

\(\widehat {ODH} = \widehat {OMD}(1)\)

\(\Delta ADM\)vuông tại D suy ra \(\Delta ADM\)nội tiếp đường tròn đường kính AM (2)

\(\Delta AHM\)vuông tại H suy ra \(\Delta AHM\)nội tiếp đường tròn đường kính AM (3)

Từ (2), (3) suy ra bốn điểm A, H, D, M cùng thuộc đường tròn đường kính AM.

Suy ra tứ giác AHDM nội tiếp

Nên \(\widehat {HMD} = \widehat {HAD}\)(cùng chắn cung HD)

Vậy \(\widehat {ODH} = \widehat {DAC}\)

c) Ta có OD = OB = R. Suy ra \(\Delta OBD\)cân tại R.

Mà K là trung điểm BD nên \(OK \bot BD\)tại K nên \(\widehat {OKM} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta OHE\)và \(\Delta OKM\)có:

\(\widehat {MOK}\)chung

\(\widehat {OHE} = \widehat {OKM} = 90^\circ \)

Suy ra \(\Delta OHE\)ᔕ\(\Delta OKM\)(g-g)

Nên \(\frac{{OH}}{{OK}} = \frac{{OE}}{{OM}}\)hay OH.OM = OK.OE

Theo câu b, OH.OM = OA² = R²

Do đó \(OK.OE = {R^2}\). Mà OB = R nên \[OK.OE{\rm{ }} = {\rm{ }}O{B^2}\]

Suy ra \(\frac{{OK}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OE}}\)

Xét \(\Delta OBK\)và \(\Delta OEB\)có:

\(\widehat {BOE}\)chung

\(\frac{{OK}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OE}}\)

Suy ra \(\Delta OBK\)ᔕ\(\Delta OEB\)(c-g-c)

Nên \(\widehat {OBE} = \widehat {OKB} = 90^\circ \)

Do đó \(\Delta OEB\) vuông tại B

\(\Delta OAM\)vuông tại A

\[\cos \widehat {AOM} = \frac{{OA}}{{OM}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2}\]

Suy ra \(\widehat {AOM} = 60^\circ \)

Ta có \(\Delta OHA\)vuông tại H

\(\widehat {OAH} = 90^\circ - \widehat {AOM} = 30^\circ \)

Xét \(\Delta ABE\)vuông tại B có \(\tan \widehat {BAE} = \frac{{BE}}{{AB}}\)

Suy ra \(BE = AB\tan 30^\circ = 2R.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2R\sqrt 3 }}{3}\)

Tam giác OEB vuông tại B có OB = R, \(BE = \frac{{2R\sqrt 3 }}{3}\)

Diện tích tam giác OEB là

\(S = \frac{1}{2}.OB.BE = \frac{1}{2}.R.\frac{{2R\sqrt 3 }}{3} = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{3}\)

Gọi x(giờ) là số giờ làm việc trong định mức, y(giờ) là số giờ làm thêm ngoài định mức

(\(0 < x,y < 212)\)

Vì tổng số giờ làm việc là 212 giờ nên ta có phương trình: x + y = 212 (1)

Tiền công cho mỗi giờ làm thêm là 38000.150% = 57 000 (đồng)

Tổng số tiền lương anh Bình nhận được là 8 436 000 đồng nên ta có phương trình:

38 000x + 57 000y = 8 436 000 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 212\\38000x + 57000y = 8436000\end{array} \right.\)

Giải hpt ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 192\\y = 20\end{array} \right.(TM)\)

Vậy anh Bình đã làm thêm 20 giờ ngoài định mức