Để tham quan các điểm du lịch trên bán đảo Sơn Trà, bạn Linh cùng gia đình sử dụng dịch vụ xe điện du lịch. Bảng giá niêm yết dành cho dịch vụ này như sau:

Giá mở cửa: 20.000 đồng cho 15 phút đầu tiên.

Cước phí phát sinh: Sau 15 phút đầu, cứ mỗi 5 phút tiếp theo sẽ tính thêm 4.000 đồng.

Với số tiền 100.000 đồng hiện có, gia đình bạn Linh có thể sử dụng dịch vụ xe điện này để tham quan trong thời gian tối đa là bao nhiêu phút?

a) Vì \(AP\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\)tại A nên \(\widehat {PAI} = 90^\circ \) hay tam giác \(PAI\)vuông tại A.

Vậy 3 điểm \(P,A,I\) cùng thuộc đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh \(PI\)và bán kính là \(\frac{{PI}}{2}\). (1)

Tương tự ta cũng chứng minh được 3 điểm \(P,H,I\)cùng thuộc đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh \(PI\)và bán kính là \(\frac{{PI}}{2}\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm \(P,A,I,H\) cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác \(APHI\) nội tiếp được.

b) Ta có ( g-g)

Suy ra: \(\frac{{AP}}{{BI}} = \frac{{AI}}{{BQ}}\) nên\(AP.BQ = AI.BI\)

c) Từ câu 1) ta có\(APHI\)là tứ giác nội tiếp suy ra \(\widehat {IAH} = \widehat {IPH}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn )\(IAH=IPH\)

Tương tự ta cũng có \(BQHI\) là tứ giác nội tiếp

Suy ra \(\widehat {IBH} = \widehat {IQH}\) \(IBH=IQH\) (2 góc nội tiếp cùng chắn )

mà \(\widehat {PIQ} = 90^\circ \) nên \(\widehat {AHB} = 90^\circ \) suy ra \(H \in (O)\)và tứ giác \(MHNI\)nội tiếp.

Do đó\(=>HNM=HIM =HAP\) \(\widehat {HNM} = \widehat {HIM} = \widehat {HAP}\)\(HAP=HBA=\)mà \(\widehat {HAP} = \widehat {HBA}\) suy ra \(\widehat {HNM} = \widehat {HBA}\)

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên MN//AB.

Vì \(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( 5 \right)^2} - 4.1.2 = 17 > 0\)

Nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_{1,}},{x_2}\).

Theo định lý Vi-et, ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 6}}{1} = - 6}\\{P = {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{2}{1} = 2}\end{array}} \right.\)

Ta có:

\[P = \frac{{{x_1}\sqrt {2x_1^2 + {x_1}{x_2}} + {x_2}\sqrt {2x_2^2 + {x_1}{x_2}} }}{{x_1^2 + x_2^2}}\]

Đặt B = \[x_1^2 + x_2^2 = {\left( {x_1^{} + x_2^{}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {( - 6)^2} - 2.2 = 32\]

Đặt \[A = {x_1}\sqrt {2x_1^2 + {x_1}{x_2}} + {x_2}\sqrt {2x_2^2 + {x_1}{x_2}} \].Từ S = -6, P = 2, \({x_{1,}},{x_2}\) < 0. A < 0

\[{A^2} = x_1^2\left( {2x_1^2 + {x_1}{x_2}} \right) + x_2^2\left( {2x_2^2 + {x_1}{x_2}} \right) + 2{x_1}{x_2}\sqrt {x_1^2x_2^2\left( {2{x_1} + {x_2}} \right)\left( {2{x_2} + {x_1}} \right)} \]

\[A = - \left( {2096 + 8\sqrt {74} } \right)\]

\[A = \frac{{ - \left( {2096 + 8\sqrt {74} } \right)}}{{32}}\]