Câu hỏi:

26/04/2026 128

Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác A và C), MB cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.

(a) Chứng minh: Bốn điểm C, B, H, K cùng thuộc một đường tròn.

(b) Chứng minh: CA là phân giác của \(\widehat {MCK}\).

(c) Kẻ Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A. BM cắt Ax tại Q. Lấy P thuộc Ax sao cho \(\frac{{AP\,.\,MB}}{{MA}} = R\). Chứng minh: PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 40 Đề tham khảo tuyển sinh Toán vào 10 năm 2026 Đà Nẵng !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính (ảnh 1)

a) Gọi I là trung điểm của HB, suy ra: \(HI = IB = \frac{{HB}}{2}\)

Xét nửa đường tròn (O), đường kính AB có: \(\widehat {ACB} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(\Delta CHB\) vuông tại C, mà CI là đường trung tuyến nên:

\(IC = IH = IB = \frac{{HB}}{2}\) (1)

Xét nửa đường tròn \((O)\), đường kính AB có: \(\widehat {HKB} = 90^\circ \) (HK⊥KB)

Suy ra \(\Delta KHB\) vuông tại K, mà KI là đường trung tuyến nên:

\(IK = IH = IB = \frac{{HB}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(IC = IK = IH = IB = \frac{{HB}}{2}\)

Suy ra bốn điểm C, B, H, K cùng thuộc một đường tròn \(\left( {I;\frac{{HB}}{2}} \right)\).

b) Có \(\widehat {MCA} = \widehat {MBA}\) (góc nội tiếp cùng chắn trong (O))

Và \(\widehat {HCK} = \widehat {HBK}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung HK trong (I))

hay \(\widehat {ACK} = \widehat {MBA}\)

Suy ra: \(\widehat {MCA} = \widehat {ACK}\). Vậy CA là phân giác của \(\widehat {MCK}\).

c) Theo giả thiết: \(\frac{{AP.MB}}{{MA}} = R\). Suy ra:\(\frac{{AP}}{{MA}} = \frac{{OA}}{{MB}}\)

Xét \(\Delta PAO\) và \(\Delta AMB\) có: \(\frac{{AP}}{{MA}} = \frac{{OA}}{{MB}}\); \(\widehat {PAO} = \widehat {AMB} = 90^\circ \)

Suy ra: (c-g-c)

Suy ra: \(\widehat {POA} = \widehat {MBA}\) (hai góc tương ứng). Suy ra: \[OP{\rm{ // B}}Q\]

Xét \(\Delta ABQ\) có: OP // BQ, mà O là trung điểm của AB nên P là trung điểm của \[AQ\] hay AP = QP.

Gọi F là giao điểm của BP và HK.

Xét \(\Delta ABP\)có FK//AP nên \[\frac{{FK}}{{AP}} = \frac{{BF}}{{BP}}\];

Xét \(\Delta QBP\)có FH//QP nên \[\frac{{FH}}{{QP}} = \frac{{BF}}{{BP}}\]

Từ đó HF = FK suy ra PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hưởng ứng phong trào Tết trồng cây, chi đoàn thanh niên của một trường THCS dự định trồng 30 cây xanh trong một thời gian nhất định. Do mỗi giờ chi đoàn trồng nhiều hơn dự định 5 cây nên đã hoàn thành công việc trước dự định 20 phút và trồng thêm được 10 cây nữa. Tính số cây xanh mà chi đoàn dự định trồng trong mỗi giờ.

Lời giải

Gọi số cây mà chi đoàn dự định trồng trong mỗi giờ là x (cây) (ĐK: x \( \in \) \({\mathbb{N}^*}\))

Số cây chi đoàn trồng được trong mỗi giờ trên thực tế là: x + 5 (cây)

Thời gian chi đoàn dự định trồng xong số cây là: \(\frac{{30}}{x}\) (h)

Số cây mà chi đoàn trồng được trong thực tế là: 30 + 10 = 40 (cây)

Thời gian chi đoàn trồng xong số cây trong thực tế là: \(\frac{{40}}{{x + 5}}\) (h)

Đổi: 20 phút = \(\frac{1}{3}\) h

Do chi đoàn hoàn thành công việc trước dự định là 20 phút nên ta có phương trình: \(\frac{{30}}{x} - \frac{{40}}{{x + 5}} = \frac{1}{3}\)

\[\frac{{30.3\left( {x + 5} \right) - 40.3x}}{{3.x\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 5} \right)}}{{3.x\left( {x + 5} \right)}}\]

\[90\left( {x + 5} \right) - 120x = x\left( {x + 5} \right)\]

\({x^2} + 35x - 450 = 0\)(a = 1, b = 35, c = -450)

\[\Delta = {35^2} - 4.1.\left( { - 450} \right) = 3025 > 0\]

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

\[{x_1} = \frac{{ - 35 + \sqrt {3025} }}{{2.1}} = 10\] (TMĐK) và \[{x_2} = \frac{{ - 35 - \sqrt {3025} }}{{2.1}} = - 45\] (Loại)

Vậy số cây mà chi đoàn dự định trồng trong mỗi giờ là 10 cây.

Câu 2

Rút gọn biểu thức: \(B = \frac{{3\sqrt x - 6}}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{2 - \sqrt x }}\) (với \(x > 0,\,x \ne 4\)).

Lời giải

Với \(x > 0,\,x \ne 4\) ta có:

\(B = \frac{{3\sqrt x - 6}}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{2 - \sqrt x }}\)

\( = \frac{{3\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\)\( = \frac{3}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\)

\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\) \( = 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\)\( = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\) (với \(x > 0,\,x \ne 4\))

Câu 3