Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác A và C), MB cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.

(a) Chứng minh: Bốn điểm C, B, H,  K cùng thuộc một đường tròn.

(b) Chứng minh: CA là phân giác của \(\widehat {MCK}\).

(c) Kẻ Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A. BM cắt Ax tại Q. Lấy P thuộc Ax sao cho \(\frac{{AP\,.\,MB}}{{MA}} = R\). Chứng minh: PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.

Với \(x > 0,\,x \ne 4\) ta có:

\(B = \frac{{3\sqrt x - 6}}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{2 - \sqrt x }}\)

\( = \frac{{3\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\)\( = \frac{3}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\)

\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\) \( = 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\)\( = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\) (với \(x > 0,\,x \ne 4\))

Gọi số cây mà chi đoàn dự định trồng trong mỗi giờ là x (cây) (ĐK: x \( \in \) \({\mathbb{N}^*}\))

Số cây chi đoàn trồng được trong mỗi giờ trên thực tế là: x + 5 (cây)

Thời gian chi đoàn dự định trồng xong số cây là: \(\frac{{30}}{x}\) (h)

Số cây mà chi đoàn trồng được trong thực tế là: 30 + 10 = 40 (cây)

Thời gian chi đoàn trồng xong số cây trong thực tế là: \(\frac{{40}}{{x + 5}}\) (h)

Đổi: 20 phút = \(\frac{1}{3}\) h

Do chi đoàn hoàn thành công việc trước dự định là 20 phút nên ta có phương trình: \(\frac{{30}}{x} - \frac{{40}}{{x + 5}} = \frac{1}{3}\)

\[\frac{{30.3\left( {x + 5} \right) - 40.3x}}{{3.x\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 5} \right)}}{{3.x\left( {x + 5} \right)}}\]

\[90\left( {x + 5} \right) - 120x = x\left( {x + 5} \right)\]

\({x^2} + 35x - 450 = 0\)(a = 1, b = 35, c = -450)

\[\Delta = {35^2} - 4.1.\left( { - 450} \right) = 3025 > 0\]

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

\[{x_1} = \frac{{ - 35 + \sqrt {3025} }}{{2.1}} = 10\] (TMĐK) và \[{x_2} = \frac{{ - 35 - \sqrt {3025} }}{{2.1}} = - 45\] (Loại)

Vậy số cây mà chi đoàn dự định trồng trong mỗi giờ là 10 cây.