Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác A và C), MB cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.
(a) Chứng minh: Bốn điểm C, B, H, K cùng thuộc một đường tròn.
(b) Chứng minh: CA là phân giác của \(\widehat {MCK}\).
(c) Kẻ Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A. BM cắt Ax tại Q. Lấy P thuộc Ax sao cho \(\frac{{AP\,.\,MB}}{{MA}} = R\). Chứng minh: PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.
Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác A và C), MB cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.
(a) Chứng minh: Bốn điểm C, B, H, K cùng thuộc một đường tròn.
(b) Chứng minh: CA là phân giác của \(\widehat {MCK}\).
(c) Kẻ Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A. BM cắt Ax tại Q. Lấy P thuộc Ax sao cho \(\frac{{AP\,.\,MB}}{{MA}} = R\). Chứng minh: PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Gọi I là trung điểm của HB, suy ra: \(HI = IB = \frac{{HB}}{2}\)
Xét nửa đường tròn (O), đường kính AB có: \(\widehat {ACB} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra \(\Delta CHB\) vuông tại C, mà CI là đường trung tuyến nên:
\(IC = IH = IB = \frac{{HB}}{2}\) (1)
Xét nửa đường tròn \((O)\), đường kính AB có: \(\widehat {HKB} = 90^\circ \) (HK⊥KB)
Suy ra \(\Delta KHB\) vuông tại K, mà KI là đường trung tuyến nên:
\(IK = IH = IB = \frac{{HB}}{2}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(IC = IK = IH = IB = \frac{{HB}}{2}\)
Suy ra bốn điểm C, B, H, K cùng thuộc một đường tròn \(\left( {I;\frac{{HB}}{2}} \right)\).
b) Có \(\widehat {MCA} = \widehat {MBA}\) (góc nội tiếp cùng chắn trong (O))
Và \(\widehat {HCK} = \widehat {HBK}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung HK trong (I))
hay \(\widehat {ACK} = \widehat {MBA}\)
Suy ra: \(\widehat {MCA} = \widehat {ACK}\). Vậy CA là phân giác của \(\widehat {MCK}\).
c) Theo giả thiết: \(\frac{{AP.MB}}{{MA}} = R\). Suy ra:\(\frac{{AP}}{{MA}} = \frac{{OA}}{{MB}}\)
Xét \(\Delta PAO\) và \(\Delta AMB\) có: \(\frac{{AP}}{{MA}} = \frac{{OA}}{{MB}}\); \(\widehat {PAO} = \widehat {AMB} = 90^\circ \)
Suy ra: (c-g-c)
Suy ra: \(\widehat {POA} = \widehat {MBA}\) (hai góc tương ứng). Suy ra: \[OP{\rm{ // B}}Q\]
Xét \(\Delta ABQ\) có: OP // BQ, mà O là trung điểm của AB nên P là trung điểm của \[AQ\] hay AP = QP.
Gọi F là giao điểm của BP và HK.
Xét \(\Delta ABP\)có FK//AP nên \[\frac{{FK}}{{AP}} = \frac{{BF}}{{BP}}\];
Xét \(\Delta QBP\)có FH//QP nên \[\frac{{FH}}{{QP}} = \frac{{BF}}{{BP}}\]
Từ đó HF = FK suy ra PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi số cây mà chi đoàn dự định trồng trong mỗi giờ là x (cây) (ĐK: x \( \in \) \({\mathbb{N}^*}\))
Số cây chi đoàn trồng được trong mỗi giờ trên thực tế là: x + 5 (cây)
Thời gian chi đoàn dự định trồng xong số cây là: \(\frac{{30}}{x}\) (h)
Số cây mà chi đoàn trồng được trong thực tế là: 30 + 10 = 40 (cây)
Thời gian chi đoàn trồng xong số cây trong thực tế là: \(\frac{{40}}{{x + 5}}\) (h)
Đổi: 20 phút = \(\frac{1}{3}\) h
Do chi đoàn hoàn thành công việc trước dự định là 20 phút nên ta có phương trình: \(\frac{{30}}{x} - \frac{{40}}{{x + 5}} = \frac{1}{3}\)
\[\frac{{30.3\left( {x + 5} \right) - 40.3x}}{{3.x\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 5} \right)}}{{3.x\left( {x + 5} \right)}}\]
\[90\left( {x + 5} \right) - 120x = x\left( {x + 5} \right)\]
\({x^2} + 35x - 450 = 0\)(a = 1, b = 35, c = -450)
\[\Delta = {35^2} - 4.1.\left( { - 450} \right) = 3025 > 0\]
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
\[{x_1} = \frac{{ - 35 + \sqrt {3025} }}{{2.1}} = 10\] (TMĐK) và \[{x_2} = \frac{{ - 35 - \sqrt {3025} }}{{2.1}} = - 45\] (Loại)
Vậy số cây mà chi đoàn dự định trồng trong mỗi giờ là 10 cây.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Với \(x > 0,\,x \ne 4\) ta có:
\(B = \frac{{3\sqrt x - 6}}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{2 - \sqrt x }}\)
\( = \frac{{3\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\)\( = \frac{3}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\)
\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\) \( = 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\)\( = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\) (với \(x > 0,\,x \ne 4\))
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập