Với giá trị nào của tham số \[m\] thì hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 3\\\left( {2m + 1} \right)x + 2y = 7\end{array} \right.\] có nghiệm duy nhất \(x = y?\)

Chọn B

Cách 1. ⦁ Thay \(m = 1\) vào hệ phương trình đã cho, ta được hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 3\\3x + 2y = 7\end{array} \right.\]

Sử dụng máy tính cầm tay, ta lần lượt bấm các phím theo thứ tự:

 $\boxed{\text{\hspace{0.17em}MODE\hspace{0.17em}}}\boxed{5}\boxed{1}\boxed{2}\boxed{=}\boxed{1}\boxed{=}\boxed{3}\boxed{=}\boxed{3}\boxed{=}\boxed{2}\boxed{=}\boxed{7}\boxed{=}\boxed{=}$

Trên màn hình hiện ra kết quả \(x =  - 1,\) ấn thêm phím $\boxed{=}$ ta thấy màn hình hiện kết quả \(y = 5.\)

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( { - 1;\,\,5} \right)\) và ta thấy \(x \ne y\). Do đó trường hợp \(m = 1\) không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

⦁ Tương tự như trên, ta thay lần lượt các giá trị \(m\) vào hệ phương trình đã cho, sau đó sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ phương trình nhận được, thì thấy rằng chỉ có \(m = 2\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vậy \(m = 2.\)

Cách 2. Thay \[x = y\] vào hệ phương trình đã cho, ta được: \[\left\{ \begin{array}{l}2y + y = 3\\\left( {2m + 1} \right)y + 2y = 7\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}3y = 3\\\left( {2m + 3} \right)y = 7\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\]

Với \[3y = 3,\] ta có: \[y = 1.\]

Thay \[y = 1\] vào phương trình (1), ta được:

\[\left( {2m + 3} \right) \cdot 1 = 7\]

\[2m + 3 = 7\]

\[2m = 4\]

\[m = 2.\]

Vậy \[m = 2\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách 3. Xét hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {2m + 1} \right)x + 2y = 7\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Từ phương trình (1) ta có: \(y = 3 - 2x\).

Thế \(y = 3 - 2x\) vào phương trình (2), ta được:

\[\left( {2m + 1} \right)x + 2\left( {3 - 2x} \right) = 7\]

\(\left( {2m + 1} \right)x + 6 - 4x = 7\)

\(\left( {2m - 3} \right)x = 1\,\,\,\left( * \right)\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình \(\left( * \right)\) phải có nghiệm duy nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi \(2m - 3 \ne 0\) hay \[m \ne \frac{3}{2}\].

Khi đó giải phương trình \(\left( * \right)\) ta được: \[x = \frac{1}{{2m - 3}}\].

Thay \[x = \frac{1}{{2m - 3}}\] vào phương trình \(y = 3 - 2x\) ta được:

\[y = 3 - 2 \cdot \frac{1}{{2m - 3}} = \frac{{6m - 9}}{{2m - 3}} - \frac{2}{{2m - 3}} = \frac{{6m - 11}}{{2m - 3}}\].

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(x = y\) thì \[\frac{1}{{2m - 3}} = \frac{{6m - 11}}{{2m - 3}}\].

Giải phương trình chứa ẩn \(m\) ở mẫu:

\[\frac{1}{{2m - 3}} = \frac{{6m - 11}}{{2m - 3}}\]

\(1 = 6m - 11\)

\(6m = 12\)

\[m = 2\] (thỏa mãn \[m \ne \frac{3}{2})\]

Vậy \(m = 2\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.